Mari kita analisis fungsi yang diberikan untuk menemukan domain dan range-nya.

Fungsi:

$f(x) = \frac{\sqrt{4x - 6}}{\sqrt{2x - 5}}$

1. Domain:

Untuk menentukan domain dari fungsi ini, kita harus memastikan bahwa:

1. Ekspresi di dalam akar kuadrat (baik di pembilang maupun penyebut) harus bernilai non-negatif.
2. Penyebut tidak boleh sama dengan nol, karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi.

Syarat 1: Ekspresi dalam akar kuadrat harus non-negatif

Untuk pembilang: $4x - 6 \geq 0$

$4x \geq 6$

$x \geq \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Untuk penyebut: $2x - 5 > 0 \quad \text{(Harus lebih dari nol, karena tidak boleh ada pembagian dengan nol)}$

$2x > 5$

$x > \frac{5}{2} = 2.5$

Syarat 2: Kesimpulan domain

Domain dari fungsi ini adalah nilai $x$ yang memenuhi kedua syarat tersebut. Karena $x > 2.5$ lebih ketat dari $x \geq 1.5$, maka:

$\text{Domain } = (2.5, \infty)$

2. Range:

Untuk menentukan range fungsi ini, kita harus memperhatikan bagaimana nilai $f(x)$ bervariasi sesuai dengan nilai $x$ dalam domain yang telah kita tentukan.

Karena $f(x) = \frac{\sqrt{4x - 6}}{\sqrt{2x - 5}}$ adalah rasio dua fungsi akar kuadrat, kita analisis bagaimana nilai ini bervariasi:

• Pembilang dan penyebut selalu positif dalam domain yang diberikan.
• Saat $x$ mendekati 2.5 dari kanan, nilai $f(x)$ akan mendekati nol dari arah positif karena pembilang akan mendekati nol lebih cepat daripada penyebut.
• Ketika $x$ sangat besar, pembilang dan penyebut akan mendekati proporsi yang sama (akar dari ekspresi linier), yang berarti $f(x)$ akan mendekati 1.

Dengan demikian, range dari fungsi ini adalah: $\text{Range } = (0, 1]$

Kesimpulan:

• Domain: $(2.5, \infty)$
• Range: $(0, 1]$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau ada pertanyaan lain?

Pertanyaan terkait:

1. Bagaimana menentukan range dari fungsi rasional tanpa menggambar grafik?
2. Apa yang terjadi jika $f(x)$ memiliki penyebut yang lebih kompleks?
3. Bagaimana cara menentukan domain fungsi trigonometri?
4. Apa peran limit dalam menentukan range fungsi?
5. Bagaimana pengaruh kuadrat pada fungsi dalam penentuan domain dan range?

Tip:

Periksa selalu apakah ada pembagian dengan nol ketika menentukan domain fungsi rasional, dan pahami bahwa akar kuadrat hanya terdefinisi untuk bilangan non-negatif.