Функция $\ln(\sin x)$ определена только тогда, когда выражение под логарифмом ($\sin x$) строго положительно, так как логарифм не определён для отрицательных значений и нуля. Давайте найдем область определения этой функции.

1. Требование для $\sin x > 0$:

Функция $\sin x$ положительна в интервалах: $(0 + 2k\pi, \pi + 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}.$ Здесь $k$ — целое число, представляющее периодичность синусоидальной функции.

2. Область определения функции:

Учитывая, что логарифм существует только при $\sin x > 0$, область определения функции будет объединением всех таких интервалов: $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (0 + 2k\pi, \pi + 2k\pi).$

Или, в общем виде: $x \in \{x \,|\, x = (2k\pi, 2k\pi + \pi), \, k \in \mathbb{Z}\}.$

Ответ:

Область определения функции $\ln(\sin x)$: $\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (0 + 2k\pi, \pi + 2k\pi).$

---

Если хотите уточнения или график для визуализации, дайте знать!

Вопросы для размышления:

1. Как определить область определения функции для $\ln(\cos x)$?
2. Какие значения $x$ делают $\ln(\sin x)$ неопределённой?
3. Как построить график функции $\ln(\sin x)$?
4. Как связана область определения $\ln(\sin x)$ с периодом синуса?
5. Что произойдет, если заменить $\sin x$ на $|\sin x|$?

Совет: При работе с логарифмическими функциями всегда проверяйте, где их аргумент положителен!