Να σχεδιάσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 𝑓 με:

𝑓(𝑥, 𝑦) = √3 − 𝑥 − 𝑦 + √𝑙𝑛𝑥 + √𝑦

σε σύστημα αξόνων με οριζόντιο άξονα το 𝑥 και κάθετο άξονα το 𝑦. Αποτελεί το παραπάνω πεδίο ορισμού ένα κυρτό σύνολο


Η συνάρτηση που δίνεται είναι:

\[
f(x, y) = \sqrt{3 - x - y} + \sqrt{\ln{x}} + \sqrt{y}
\]

Προκειμένου να βρούμε το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης, πρέπει να εξετάσουμε τις συνθήκες στις οποίες κάθε όρος είναι ορισμένος. Δηλαδή, κάθε ρίζα και λογάριθμος πρέπει να είναι καλά ορισμένοι, και για αυτό πρέπει να ισχύουν οι εξής συνθήκες:

1. **Για την πρώτη ρίζα \( \sqrt{3 - x - y} \)**:
   - Η ποσότητα μέσα στη ρίζα πρέπει να είναι μη αρνητική: 
     \[
     3 - x - y \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x + y \leq 3
     \]

2. **Για τη δεύτερη ρίζα \( \sqrt{\ln{x}} \)**:
   - Ο λογάριθμος πρέπει να είναι ορισμένος, δηλαδή το \(x > 0\).
   - Επίσης, η ποσότητα μέσα στη ρίζα πρέπει να είναι μη αρνητική:
     \[
     \ln{x} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1
     \]

3. **Για την τρίτη ρίζα \( \sqrt{y} \)**:
   - Το \(y\) πρέπει να είναι μη αρνητικό:
     \[
     y \geq 0
     \]

Συνεπώς, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο των σημείων \((x, y)\) που ικανοποιούν τις παρακάτω ανισότητες:

\[
x + y \leq 3, \quad x \geq 1, \quad y \geq 0
\]

Αυτό το σύνολο θα είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. 

### Σχεδίαση του πεδίου ορισμού:
Για να το απεικονίσουμε σε ένα σύστημα αξόνων με οριζόντιο άξονα το \(x\) και κάθετο άξονα το \(y\), πρέπει να βρούμε τις περιοχές που ικανοποιούν τις παραπάνω ανισότητες:

- Η ανισότητα \(x + y \leq 3\) ορίζει μια ευθεία με κλίση -1, η οποία περνά από το σημείο \((3,0)\) και το \((0,3)\).
- Η ανισότητα \(x \geq 1\) ορίζει τη δεξιά πλευρά του επιπέδου, δηλαδή \(x\) πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 1.
- Η ανισότητα \(y \geq 0\) σημαίνει ότι το \(y\) πρέπει να είναι μη αρνητικό, οπότε εργαζόμαστε μόνο στο ανώτερο ημισφαίριο του επιπέδου.

Έτσι, το πεδίο ορισμού είναι το τρίγωνο που περιορίζεται από τις γραμμές:
- \(x + y = 3\) για \(x \geq 1\),
- το \(x = 1\) (η κατακόρυφη γραμμή),
- και η γραμμή \(y = 0\) (ο \(x\)-άξονας).

Αυτό το τρίγωνο είναι κυρτό, καθώς για κάθε δύο σημεία εντός του, η ευθεία που τα συνδέει βρίσκεται εντός του συνόλου.

### Συμπεράσματα:
Το πεδίο ορισμού είναι το τρίγωνο που περιορίζεται από τις γραμμές που αναφέρθηκαν, και ναι, το πεδίο ορισμού **είναι κυρτό**.

---

**Θέλεις περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με τις συνθήκες ορισμού ή κάποια άλλη επεξήγηση;**

**5 Σχετικές Ερωτήσεις:**
1. Πώς μπορούμε να επεκτείνουμε το πεδίο ορισμού αν αλλάξουμε την συνάρτηση;
2. Ποιες είναι οι βασικές ιδιότητες της κυρτότητας ενός συνόλου;
3. Πώς μπορούμε να αποδείξουμε ότι ένα σύνολο είναι κυρτό;
4. Τι σημαίνει γεωμετρικά το πεδίο ορισμού σε σχέση με την καμπυλότητα;
5. Πώς επηρεάζει το πεδίο ορισμού την εμφάνιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης;

**Tip:** 
Πάντα όταν αντιμετωπίζεις ρίζες ή λογάριθμους σε μια συνάρτηση, έλεγξε πρώτα τις συνθήκες για να βεβαιωθείς ότι οι παράμετροι είναι μέσα στις επιτρεπόμενες περιοχές.

Να σχεδιάσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 𝑓 με: 𝑓(𝑥, 𝑦) = √3 − 𝑥 − 𝑦 + √𝑙𝑛𝑥 + √𝑦 σε σύστημα αξόνων με οριζόντιο άξονα το 𝑥 και κάθετο άξονα το 𝑦. Αποτελεί το παραπάνω πεδίο ορισμού ένα κυρτό σύνολο.

Explore the domain of the function f(x, y) = √(3 - x - y) + √(ln(x)) + √y, including the conditions for its definition and its convexity. This solution covers inequalities, logarithmic and root functions, and the concept of convex sets. Suitable for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation