actua como profesor matematico y desarrolla es ejercicio f(x)= raiz cuadradra x+1 y g(x)= raizx-4 de manera corta

Claro, vamos a desarrollar el ejercicio con las funciones dadas:

### Funciones:
1. \( f(x) = \sqrt{x + 1} \)
2. \( g(x) = \sqrt{x} - 4 \)

### 1. Dominio de \( f(x) = \sqrt{x + 1} \):
Para que la función \( f(x) \) esté bien definida, el argumento dentro de la raíz debe ser mayor o igual a cero:
\[
x + 1 \geq 0
\]
\[
x \geq -1
\]
**Dominio de \( f(x) \)**: \( x \in [-1, \infty) \)

### 2. Dominio de \( g(x) = \sqrt{x} - 4 \):
De igual manera, para que \( g(x) \) esté definida, \( x \) debe ser mayor o igual a cero porque está dentro de la raíz:
\[
x \geq 0
\]
**Dominio de \( g(x) \)**: \( x \in [0, \infty) \)

### 3. Composición \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \):
Ahora, veamos la composición de las dos funciones \( f(g(x)) \):
\[
f(g(x)) = f(\sqrt{x} - 4) = \sqrt{(\sqrt{x} - 4) + 1}
\]
\[
f(g(x)) = \sqrt{\sqrt{x} - 3}
\]
Para que esto tenga sentido, el argumento dentro de la raíz cuadrada debe ser mayor o igual a 0:
\[
\sqrt{x} - 3 \geq 0
\]
\[
\sqrt{x} \geq 3
\]
Elevamos ambos lados al cuadrado:
\[
x \geq 9
\]
**Dominio de \( (f \circ g)(x) \)**: \( x \in [9, \infty) \)

### Resultado Final:
- Dominio de \( f(x) \): \( x \geq -1 \)
- Dominio de \( g(x) \): \( x \geq 0 \)
- Dominio de \( (f \circ g)(x) \): \( x \geq 9 \)

¿Tienes preguntas o te gustaría más detalles sobre algún paso?

### 5 Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se pueden encontrar los intervalos donde una función es creciente o decreciente?
2. ¿Cómo calcular la derivada de una función que involucra raíces?
3. ¿Qué sucede si intentamos componer funciones con dominios restringidos?
4. ¿Cómo se representan las funciones compuestas en gráficas?
5. ¿Qué otros métodos hay para encontrar el dominio de una función compleja?

**Tip:** Siempre verifica el dominio de las funciones antes de realizar operaciones con ellas, especialmente si incluyen raíces o fracciones.

Explore how to find the domain and composition of the functions f(x) = √(x + 1) and g(x) = √x - 4. This step-by-step guide covers function composition, domain restrictions for square roots, and the final solution. Suitable for students in Grades 10-12.

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