Untuk menentukan domain dari fungsi $f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}{x}$, kita harus memperhatikan dua hal:

1. Ekspresi di dalam akar kuadrat: Fungsi akar kuadrat hanya terdefinisi jika nilai di dalam akar tidak negatif (lebih besar atau sama dengan nol). Jadi, kita perlu memastikan bahwa: $x^2 - 3x + 2 \geq 0$

2. Pembagian dengan nol: Fungsi tidak terdefinisi jika penyebutnya sama dengan nol. Karena di sini $x$ ada di penyebut, maka kita juga harus memastikan bahwa: $x \neq 0$

Langkah 1: Menyelesaikan pertidaksamaan $x^2 - 3x + 2 \geq 0$

Pertama, kita selesaikan persamaan kuadrat: $x^2 - 3x + 2 = 0$ Untuk mencari akarnya, kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ Jadi, akar-akar persamaannya adalah $x = 1$ dan $x = 2$.

Sekarang, kita analisis tanda dari $(x - 1)(x - 2) \geq 0$. Kita bagi garis bilangan menjadi tiga interval berdasarkan akar-akar tersebut: $(-\infty, 1)$, $(1, 2)$, dan $(2, \infty)$. Kemudian kita uji tanda dari hasil perkalian di setiap interval:

• Untuk $x < 1$ (misalnya $x = 0$), $(x - 1)(x - 2)$ bernilai positif.
• Untuk $1 < x < 2$ (misalnya $x = 1.5$), $(x - 1)(x - 2)$ bernilai negatif.
• Untuk $x > 2$ (misalnya $x = 3$), $(x - 1)(x - 2)$ bernilai positif.

Jadi, pertidaksamaan $(x - 1)(x - 2) \geq 0$ terpenuhi untuk $x \leq 1$ atau $x \geq 2$.

Langkah 2: Menggabungkan dengan syarat $x \neq 0$

Dari hasil langkah pertama, kita dapatkan bahwa $x \leq 1$ atau $x \geq 2$. Namun, kita juga harus mengeluarkan $x = 0$ dari domain karena tidak boleh ada pembagian dengan nol.

Domain Fungsi

Jadi, domain dari fungsi $f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}{x}$ adalah: $\boxed{(-\infty, 0) \cup (0, 1] \cup [2, \infty)}$

Titik Uji

Untuk menentukan titik uji yang dapat digunakan, kita bisa mengambil nilai dari setiap interval yang ada pada domain, misalnya:

• $x = -1$ (dari interval $(-\infty, 0)$)
• $x = 0.5$ (dari interval $(0, 1]$)
• $x = 2.5$ (dari interval $[2, \infty)$)

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana cara menentukan akar dari persamaan kuadrat menggunakan rumus kuadrat?
2. Apa perbedaan antara domain dan range dalam fungsi?
3. Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional?
4. Apa langkah-langkah untuk memfaktorkan persamaan kuadrat?
5. Bagaimana menentukan nilai ekstrem dari suatu fungsi?

Tip: Ketika menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, menggambar grafik parabola dapat membantu memahami interval di mana fungsi positif atau negatif.