Давайте решим задачу. У нас есть число $17a2b$, которое делится на $99$ без остатка, и нужно найти сумму $a + b$.

Для того чтобы число делилось на $99$, оно должно делиться на $9$ и на $11$ одновременно (по свойству кратности чисел).

Условие делимости на $9$:

Число делится на $9$, если сумма его цифр делится на $9$.

Сумма цифр числа $17a2b$ равна: $1 + 7 + a + 2 + b = 10 + a + b$ Следовательно, $10 + a + b$ должно делиться на $9$.

Условие делимости на $11$:

Число делится на $11$, если разность между суммой цифр на нечётных позициях и суммой цифр на чётных позициях делится на $11$.

Сумма цифр на нечётных позициях: $1 + a + b$.
Сумма цифр на чётных позициях: $7 + 2 = 9$.

Разность: $(1 + a + b) - 9 = a + b - 8$ Следовательно, $a + b - 8$ должно делиться на $11$.

Решение системы:

Мы получили две условия:

1. $10 + a + b \equiv 0 \pmod{9}$,
2. $a + b - 8 \equiv 0 \pmod{11}$.

Обозначим $S = a + b$. Тогда:

1. $S + 10 \equiv 0 \pmod{9}$, или $S \equiv -10 \equiv -1 \equiv 8 \pmod{9}$,
2. $S - 8 \equiv 0 \pmod{11}$, или $S \equiv 8 \pmod{11}$.

Теперь найдём $S$, удовлетворяющее этим условиям.

Поиск $S$:

Число $S$ должно быть таким, чтобы одновременно выполнялось:

• $S \equiv 8 \pmod{9}$,
• $S \equiv 8 \pmod{11}$.

Для этого воспользуемся китайской теоремой об остатках. Модули $9$ и $11$ взаимно просты, поэтому решение существует и единственно в пределах произведения $9 \times 11 = 99$.

Предположим, $S = 8$. Проверяем делимость:

1. $S = 8$ удовлетворяет $S \equiv 8 \pmod{9}$,
2. $S = 8$ удовлетворяет $S \equiv 8 \pmod{11}$.

Таким образом, $S = 8$.

Проверка:

Сумма цифр $a + b = S = 8$. Проверим кратность числа $1728$ (например, если $a = 2$, $b = 6$) числу $99$:

• Сумма цифр: $1 + 7 + 2 + 8 = 18$, делится на $9$.
• Разность нечётных и чётных позиций: $(1 + 2 + 8) - (7) = 4$, делится на $11$.

Число $1728$ делится на $99$.

Ответ:

Сумма $a + b = 8$.

Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите детализировать решение, напишите!

Вопросы для размышления:

1. Что такое китайская теорема об остатках, и как её можно применить в более сложных задачах?
2. Какова общая стратегия для проверки условий делимости числа на несколько делителей?
3. Почему числа $9$ и $11$ являются ключевыми при проверке делимости числа на $99$?
4. Какие ещё задачи на делимость можно решить с использованием систем сравнений?
5. Как влияет порядок цифр в числе на условия делимости?

Совет:

При проверке делимости больших чисел всегда упрощайте задачи, выделяя ключевые признаки делимости (например, на $2, 3, 5, 9, 11$) и применяя их к отдельным частям числа.