Чтобы вычислить дивергенцию векторного поля в точке $M_0(-3, -3, 4)$, нужно сначала найти выражение для дивергенции векторного поля $\mathbf{a}$. Векторное поле $\mathbf{a}$ задано как:

$\mathbf{a} = \left( \frac{3y + 4z}{x^2} \right) \hat{i} + \left( \frac{3x - 2z}{y^2} \right) \hat{j} + \left( \frac{2x + 4y}{z^2} \right) \hat{k}$

Шаг 1: Напоминаем формулу для дивергенции векторного поля

Дивергенция векторного поля $\mathbf{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ определяется как:

$\text{div}(\mathbf{a}) = \frac{\partial a_1}{\partial x} + \frac{\partial a_2}{\partial y} + \frac{\partial a_3}{\partial z}$

Где:

• $a_1 = \frac{3y + 4z}{x^2}$
• $a_2 = \frac{3x - 2z}{y^2}$
• $a_3 = \frac{2x + 4y}{z^2}$

Шаг 2: Вычислим частные производные

Частная производная $a_1$ по $x$:

$a_1 = \frac{3y + 4z}{x^2}$ $\frac{\partial a_1}{\partial x} = -2 \cdot \frac{3y + 4z}{x^3}$

Частная производная $a_2$ по $y$:

$a_2 = \frac{3x - 2z}{y^2}$ $\frac{\partial a_2}{\partial y} = -2 \cdot \frac{3x - 2z}{y^3}$

Частная производная $a_3$ по $z$:

$a_3 = \frac{2x + 4y}{z^2}$ $\frac{\partial a_3}{\partial z} = -2 \cdot \frac{2x + 4y}{z^3}$

Шаг 3: Составим выражение для дивергенции

Теперь можем составить полное выражение для дивергенции:

$\text{div}(\mathbf{a}) = -2 \cdot \frac{3y + 4z}{x^3} - 2 \cdot \frac{3x - 2z}{y^3} - 2 \cdot \frac{2x + 4y}{z^3}$

Шаг 4: Подставим координаты точки $M_0(-3, -3, 4)$

Подставим $x = -3$, $y = -3$, $z = 4$ в полученное выражение для дивергенции:

$\text{div}(\mathbf{a}) = -2 \cdot \frac{3(-3) + 4(4)}{(-3)^3} - 2 \cdot \frac{3(-3) - 2(4)}{(-3)^3} - 2 \cdot \frac{2(-3) + 4(-3)}{(4)^3}$

Шаг 5: Вычислим значения

1. $3(-3) + 4(4) = -9 + 16 = 7$
2. $(-3)^3 = -27$
3. $3(-3) - 2(4) = -9 - 8 = -17$
4. $(-3)^3 = -27$
5. $2(-3) + 4(-3) = -6 - 12 = -18$
6. $4^3 = 64$

Теперь подставим эти значения:

$\text{div}(\mathbf{a}) = -2 \cdot \frac{7}{-27} - 2 \cdot \frac{-17}{-27} - 2 \cdot \frac{-18}{64}$

Преобразуем:

$\text{div}(\mathbf{a}) = 2 \cdot \frac{7}{27} - 2 \cdot \frac{17}{27} + 2 \cdot \frac{18}{64}$

$\text{div}(\mathbf{a}) = \frac{14}{27} - \frac{34}{27} + \frac{36}{64}$

Теперь упрощаем:

$\text{div}(\mathbf{a}) = \frac{14 - 34}{27} + \frac{36}{64}$ $\text{div}(\mathbf{a}) = \frac{-20}{27} + \frac{36}{64}$

Приводим к общему знаменателю:

$\frac{36}{64} = \frac{540}{960}, \quad \frac{-20}{27} = \frac{-720}{960}$

$\text{div}(\mathbf{a}) = \frac{-720 + 540}{960} = \frac{-180}{960} = -\frac{3}{16}$

Ответ

Дивергенция векторного поля в точке $M_0(-3, -3, 4)$ равна:

$\boxed{-0.1875}$

(с точностью до 0.01).

---

Есть ли у вас вопросы по решению?

Дополнительные вопросы:

1. Как рассчитать дивергенцию векторного поля в других точках пространства?
2. В чем разница между дивергенцией и ротором векторного поля?
3. Как использовать дивергенцию для нахождения источников и стоков в векторных полях?
4. Какие свойства дивергенции важны для физики (например, в электростатике)?
5. Как найти поток векторного поля через поверхность, используя дивергенцию?

Совет: Чтобы быстрее решать подобные задачи, полезно помнить о стандартных производных для дробных выражений и уметь быстро приводить дроби к общему знаменателю.