デカルト座標系(x,y,z)においてベクトル場aが
a=(x+yz)i+(x+x^2+y^2+zx)j+(z+xy)k
と与えられている

i,j,kはそれぞれx,y,z方向の基本ベクトルである

領域Vが　0≦z≦1-x^2, 0≦y≦1 である

ベクトル場aの回転とわき出しをもとめてほしい

ベクトル場 \(\mathbf{a}\) がデカルト座標系で次のように与えられています：

\[
\mathbf{a} = (x + yz)\mathbf{i} + (x + x^2 + y^2 + zx)\mathbf{j} + (z + xy)\mathbf{k}
\]

ここで、\(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) はそれぞれ \(x\)、\(y\)、\(z\) 方向の単位ベクトルです。

ベクトル場 \(\mathbf{a}\) の回転とわき出しを求めます。

### 1. ベクトル場の回転（カール）

ベクトル場 \(\mathbf{a}\) の回転 \(\nabla \times \mathbf{a}\) は次のように定義されます：

\[
\nabla \times \mathbf{a} = \left( \frac{\partial a_z}{\partial y} - \frac{\partial a_y}{\partial z} \right)\mathbf{i} + \left( \frac{\partial a_x}{\partial z} - \frac{\partial a_z}{\partial x} \right)\mathbf{j} + \left( \frac{\partial a_y}{\partial x} - \frac{\partial a_x}{\partial y} \right)\mathbf{k}
\]

これを用いて計算します。

#### \(x\) 成分：

\[
\left( \frac{\partial a_z}{\partial y} - \frac{\partial a_y}{\partial z} \right) = \frac{\partial (z + xy)}{\partial y} - \frac{\partial (x + x^2 + y^2 + zx)}{\partial z}
\]
\[
= x - x = 0
\]

#### \(y\) 成分：

\[
\left( \frac{\partial a_x}{\partial z} - \frac{\partial a_z}{\partial x} \right) = \frac{\partial (x + yz)}{\partial z} - \frac{\partial (z + xy)}{\partial x}
\]
\[
= y - y = 0
\]

#### \(z\) 成分：

\[
\left( \frac{\partial a_y}{\partial x} - \frac{\partial a_x}{\partial y} \right) = \frac{\partial (x + x^2 + y^2 + zx)}{\partial x} - \frac{\partial (x + yz)}{\partial y}
\]
\[
= (1 + 2x + z) - z = 1 + 2x
\]

したがって、ベクトル場 \(\mathbf{a}\) の回転は次のようになります：

\[
\nabla \times \mathbf{a} = (0)\mathbf{i} + (0)\mathbf{j} + (1 + 2x)\mathbf{k}
\]

### 2. ベクトル場のわき出し（発散）

ベクトル場 \(\mathbf{a}\) のわき出し \(\nabla \cdot \mathbf{a}\) は次のように定義されます：

\[
\nabla \cdot \mathbf{a} = \frac{\partial a_x}{\partial x} + \frac{\partial a_y}{\partial y} + \frac{\partial a_z}{\partial z}
\]

これを計算します。

\[
\frac{\partial a_x}{\partial x} = \frac{\partial (x + yz)}{\partial x} = 1
\]

\[
\frac{\partial a_y}{\partial y} = \frac{\partial (x + x^2 + y^2 + zx)}{\partial y} = 2y
\]

\[
\frac{\partial a_z}{\partial z} = \frac{\partial (z + xy)}{\partial z} = 1
\]

したがって、ベクトル場 \(\mathbf{a}\) のわき出しは次のようになります：

\[
\boxed{\nabla \cdot \mathbf{a} = 2y + 2}
\]

### まとめ

- ベクトル場 \(\mathbf{a}\) の回転（カール）： \(\nabla \times \mathbf{a} = (1 + 2x)\mathbf{k}\)
- ベクトル場 \(\mathbf{a}\) のわき出し（発散）： \(\nabla \cdot \mathbf{a} = 2y + 2\)

これで計算は完了です。さらに質問がある場合や詳しい説明が必要な場合は教えてください。

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### 関連質問
1. ベクトル場の回転が物理的に何を意味するのか？
2. ベクトル場のわき出しが物理的に何を意味するのか？
3. 他の座標系（例えば、極座標系）での回転やわき出しの計算方法は？
4. ベクトル場の回転やわき出しの応用例は？
5. 領域 \(V\) におけるベクトル場の回転やわき出しの特性を調べる方法は？

### Tip
ベクトル場の回転とわき出しを理解するためには、ベクトル解析の基本概念を把握することが重要です。特に、これらの演算子が物理的にどのような意味を持つのかを考えると、理解が深まります。

Learn how to calculate the curl and divergence of a vector field in Cartesian coordinates with a detailed step-by-step solution. This problem involves vector analysis concepts, including partial derivatives and vector field operations.

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