ベクトル場 $\mathbf{a}$ がデカルト座標系で次のように与えられています：

$\mathbf{a} = (x + yz)\mathbf{i} + (x + x^2 + y^2 + zx)\mathbf{j} + (z + xy)\mathbf{k}$

ここで、$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ はそれぞれ $x$、$y$、$z$ 方向の単位ベクトルです。

ベクトル場 $\mathbf{a}$ の回転とわき出しを求めます。

1. ベクトル場の回転（カール）

ベクトル場 $\mathbf{a}$ の回転 $\nabla \times \mathbf{a}$ は次のように定義されます：

$\nabla \times \mathbf{a} = \left( \frac{\partial a_z}{\partial y} - \frac{\partial a_y}{\partial z} \right)\mathbf{i} + \left( \frac{\partial a_x}{\partial z} - \frac{\partial a_z}{\partial x} \right)\mathbf{j} + \left( \frac{\partial a_y}{\partial x} - \frac{\partial a_x}{\partial y} \right)\mathbf{k}$

これを用いて計算します。

$x$ 成分：

$\left( \frac{\partial a_z}{\partial y} - \frac{\partial a_y}{\partial z} \right) = \frac{\partial (z + xy)}{\partial y} - \frac{\partial (x + x^2 + y^2 + zx)}{\partial z}$ $= x - x = 0$

$y$ 成分：

$\left( \frac{\partial a_x}{\partial z} - \frac{\partial a_z}{\partial x} \right) = \frac{\partial (x + yz)}{\partial z} - \frac{\partial (z + xy)}{\partial x}$ $= y - y = 0$

$z$ 成分：

$\left( \frac{\partial a_y}{\partial x} - \frac{\partial a_x}{\partial y} \right) = \frac{\partial (x + x^2 + y^2 + zx)}{\partial x} - \frac{\partial (x + yz)}{\partial y}$ $= (1 + 2x + z) - z = 1 + 2x$

したがって、ベクトル場 $\mathbf{a}$ の回転は次のようになります：

$\nabla \times \mathbf{a} = (0)\mathbf{i} + (0)\mathbf{j} + (1 + 2x)\mathbf{k}$

2. ベクトル場のわき出し（発散）

ベクトル場 $\mathbf{a}$ のわき出し $\nabla \cdot \mathbf{a}$ は次のように定義されます：

$\nabla \cdot \mathbf{a} = \frac{\partial a_x}{\partial x} + \frac{\partial a_y}{\partial y} + \frac{\partial a_z}{\partial z}$

これを計算します。

$\frac{\partial a_x}{\partial x} = \frac{\partial (x + yz)}{\partial x} = 1$

$\frac{\partial a_y}{\partial y} = \frac{\partial (x + x^2 + y^2 + zx)}{\partial y} = 2y$

$\frac{\partial a_z}{\partial z} = \frac{\partial (z + xy)}{\partial z} = 1$

したがって、ベクトル場 $\mathbf{a}$ のわき出しは次のようになります：

$\boxed{\nabla \cdot \mathbf{a} = 2y + 2}$

まとめ

• ベクトル場 $\mathbf{a}$ の回転（カール）： $\nabla \times \mathbf{a} = (1 + 2x)\mathbf{k}$
• ベクトル場 $\mathbf{a}$ のわき出し（発散）： $\nabla \cdot \mathbf{a} = 2y + 2$

これで計算は完了です。さらに質問がある場合や詳しい説明が必要な場合は教えてください。

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Tip

ベクトル場の回転とわき出しを理解するためには、ベクトル解析の基本概念を把握することが重要です。特に、これらの演算子が物理的にどのような意味を持つのかを考えると、理解が深まります。