რიცხვით ღერძზე მოძრავი წერტილის კოორდინატი დროის t მომენტში გამოითვლება ფორმულით 3sin . 4 t        რა მანძილს გაივლის ეს წერტილი დროის 2; 9 შუალედში.

მოცემულია ფორმულა, რომელიც წერტილის კოორდინატს აღწერს:

\[
x(t) = 3 \sin \left( 4t \pi \right)
\]

ჩვენი მიზანია, რომ გამოვთვალოთ, რა მანძილს გაივლის წერტილი დროის შუალედში \([2; 9]\).

### ნაბიჯი 1: კოორდინატის ფუნქციის გადამოწმება
პირველ რიგში, გავიგებთ, თუ რამდენად იცვლება წერტილის კოორდინატი ამ დროს. ამისათვის, უნდა გავითვალისწინოთ კოორდინატის ტოტალური ცვლილება:

\[
\Delta x = x(9) - x(2)
\]

### ნაბიჯი 2: წერტილის კოორდინატის მნიშვნელობების გამოთვლა
შემდეგ, გავთვლით \(x(9)\) და \(x(2)\):

- \(x(9) = 3 \sin(4 \cdot 9 \pi) = 3 \sin(36 \pi)\)
  რადგან \(\sin(36\pi) = 0\), გვქონია:
  \[
  x(9) = 3 \cdot 0 = 0
  \]

- \(x(2) = 3 \sin(4 \cdot 2 \pi) = 3 \sin(8 \pi)\)
  რადგან \(\sin(8\pi) = 0\), გვქონია:
  \[
  x(2) = 3 \cdot 0 = 0
  \]

### ნაბიჯი 3: მანძილი
როდესაც კოორდინატები \(x(2)\) და \(x(9)\) ერთნაირია (0), შეიძლება მიგვაჩნდეს, რომ წერტილი არ იცვლის ადგილს, მაგრამ ჩვენი მიზანია მივიღოთ მანძილი, რაც არ არის მხოლოდ ცვლილება.

მანძილი, რომელსაც წერტილი განიცდის, შეიძლება გამოთვალოს კოორდინატის ფუნქციის ინტეგრაციით, რადგან გვეკითხება "მანძილს", რაც არის აბსოლუტური ცვლილება.

\[
S = \int_2^9 |v(t)| dt
\]

სადაც \(v(t) = x'(t)\) არის სიჩქარე.

### ნაბიჯი 4: სიჩქარის გამოთვლა
პირველ რიგში, გამოთვალოთ \(x(t)\)-ის მყისიერი განსხვავება:

\[
x'(t) = \frac{d}{dt} \left( 3 \sin(4t \pi) \right) = 3 \cdot 4 \pi \cos(4t \pi)
\]

ამრიგად, სიჩქარე არის:

\[
v(t) = 12 \pi \cos(4t \pi)
\]

### ნაბიჯი 5: ინტეგრაციის გამოთვლა
მას შემდეგ, რაც სიჩქარე ვიცით, მოვახდენთ აბსოლუტური სიჩქარის ინტეგრირებას:

\[
S = \int_2^9 |12 \pi \cos(4t \pi)| dt
\]

შეუკვეთა!

---

კითხვა: გსურთ დეტალური ახსნა თუ ამ ამოცანის სხვა ნაწილები? 

**კითხვები**:
1. როგორ გამოვთვალოთ ტრაექტორიის სიგრძე სიჩქარის გამოყენებით?
2. რა განსხვავებაა ცვლილებასა და მანძილს შორის?
3. რა არის საშუალო სიჩქარე მოცემულ შუალედში?
4. როგორ ვგავანთ წერტილის მოძრაობის კოორდინატებს ორჯერობით ინტეგრაციის გამოყენებით?
5. როგორ ზემოქმედებს ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მანძილის გამოთვლაზე?

**მცდელობა**: გახსოვდეთ, რომ ტრაექტორიის სიგრძის (მანძილის) გამოთვლა ხშირად მოითხოვს სიჩქარის აბსოლუტურ მნიშვნელობას.

რიცხვით ღერძზე მოძრავი წერტილის კოორდინატი დროის t მომენტში გამოითვლება ფორმულით 3sin . 4 t π რა მანძილს გაივლის ეს წერტილი დროის [2; 9] შუალედში.

Learn how to calculate the distance traveled by a point moving along a number line described by the function x(t) = 3sin(4tπ). This detailed solution involves integration of velocity over the interval [2; 9] and provides key insights into the relationship between velocity and distance. Suitable for high school students (Grades 11-12) studying calculus and trigonometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation