https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1728840485545rezh9cm1.jpg

در این سوال، به شکل نیم‌دایره‌ای با مرکز مختصات \( O(0, 0) \) و شعاع ۵ واحد داده شده است. همچنین نقطه‌ای به نام \( S(2, y) \) بر روی محیط این نیم‌دایره قرار دارد. 

سوال از ما می‌خواهد که فاصله این نقطه \( S(2, y) \) از خط مماس در بالاترین نقطه نیم‌دایره (که همان نقطه \( (0, 5) \) است) چقدر است؟

### مرحله به مرحله:
1. معادله نیم‌دایره با شعاع ۵ و مرکز \( O(0, 0) \) به صورت:
   \[
   x^2 + y^2 = 25
   \]
   است. این معادله به معنی این است که هر نقطه‌ای بر روی محیط دایره باید این شرط را برقرار کند.
   
2. با جایگذاری مختصات \( x = 2 \) در این معادله، مقدار \( y \) را پیدا می‌کنیم:
   \[
   2^2 + y^2 = 25 \implies 4 + y^2 = 25 \implies y^2 = 21 \implies y = \sqrt{21}
   \]
   بنابراین، مختصات نقطه \( S \) برابر است با \( (2, \sqrt{21}) \).

3. حالا باید فاصله نقطه \( S(2, \sqrt{21}) \) از خط مماس در بالاترین نقطه دایره، یعنی \( (0, 5) \)، را پیدا کنیم. معادله این خط مماس به صورت \( y = 5 \) است.

4. فاصله نقطه \( (x_1, y_1) \) از یک خط به معادله \( y = b \) از فرمول زیر محاسبه می‌شود:
   \[
   d = |y_1 - b|
   \]
   که در اینجا:
   \[
   d = |\sqrt{21} - 5|
   \]
   با توجه به اینکه \( \sqrt{21} \approx 4.58 \)، بنابراین:
   \[
   d = |4.58 - 5| = | -0.42 | = 0.42
   \]

5. با توجه به گزینه‌ها، نزدیک‌ترین پاسخ به عدد ۰.۴۲، گزینه (۱) یعنی ۱/۷ است.

### پاسخ نهایی: گزینه \( 1 \) است.

آیا توضیحات بیشتر یا جزئیات بیشتری نیاز دارید؟

### سوالات مرتبط:
1. چگونه معادله دایره را می‌نویسیم؟
2. خط مماس بر یک دایره چیست و چگونه معادله آن را پیدا می‌کنیم؟
3. چگونه فاصله یک نقطه از یک خط را محاسبه می‌کنیم؟
4. چه رابطه‌ای بین شعاع دایره و خط مماس وجود دارد؟
5. محاسبه ریشه‌های تقریبی چگونه انجام می‌شود؟

### نکته: برای به دست آوردن فاصله نقطه از یک خط، باید حتماً فرمول استاندارد مربوط به فاصله را بدانید.

مطابق شکل، نقطه S(2, y) روی نیم‌دایره‌ای به مرکز مبدأ مختصات و به قطر 10 است. فاصله این نقطه از خط مماس بر نیم‌دایره در بالاترین نقطه آن چقدر است؟

Learn how to find the distance between a point on a semicircle and a tangent line at the topmost point. This problem involves concepts from coordinate geometry, including the equation of a circle and the distance formula. Suitable for students in Grades 9-11.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation