دو نقطه روی خط y=x+۲ قرار دارند که فاصله‌ی ‌آن‌ها از نیمساز ربع دوم و چهارم سه رادیکال دو واحد است. فاصله‌ی این دو نقطه کدام است؟

برای یافتن دو نقطه‌ای که روی خط \( y = x + 2 \) قرار دارند و فاصله‌ی آن‌ها از نیمساز ربع دوم و چهارم \( 3\sqrt{2} \) واحد است، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

1. **معادله‌ی خط نیمساز ربع دوم و چهارم:**
   معادله‌ی این خط \( y = -x \) است.

2. **فاصله از خط \( y = -x \):**
   فاصله‌ی یک نقطه \((x_1, y_1)\) از خط \( y = -x \) با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:
   \[
   d = \frac{|x_1 + y_1|}{\sqrt{2}}
   \]
   که در اینجا \( d = 3\sqrt{2} \) داده شده است. پس:
   \[
   \frac{|x_1 + y_1|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}
   \]
   \[
   |x_1 + y_1| = 6
   \]

3. **نقاط روی خط \( y = x + 2 \):**
   هر نقطه روی این خط به صورت \((x, x+2)\) است. بنابراین، فاصله از نیمساز به صورت زیر خواهد بود:
   \[
   |x + (x+2)| = 6
   \]
   \[
   |2x + 2| = 6
   \]

4. **حل معادله‌ی مطلق:**
   دو حالت ممکن است:
   \[
   2x + 2 = 6 \quad \text{یا} \quad 2x + 2 = -6
   \]
   - برای حالت اول:
     \[
     2x + 2 = 6
     \]
     \[
     2x = 4
     \]
     \[
     x = 2
     \]
     نقطه‌ی اول: \((2, 4)\)

   - برای حالت دوم:
     \[
     2x + 2 = -6
     \]
     \[
     2x = -8
     \]
     \[
     x = -4
     \]
     نقطه‌ی دوم: \((-4, -2)\)

5. **محاسبه فاصله‌ی دو نقطه:**
   فاصله‌ی بین دو نقطه \((2, 4)\) و \((-4, -2)\) به صورت زیر است:
   \[
   d = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (4 - (-2))^2}
   \]
   \[
   d = \sqrt{(2 + 4)^2 + (4 + 2)^2}
   \]
   \[
   d = \sqrt{6^2 + 6^2}
   \]
   \[
   d = \sqrt{36 + 36}
   \]
   \[
   d = \sqrt{72}
   \]
   \[
   d = 6\sqrt{2}
   \]

بنابراین، فاصله‌ی این دو نقطه \( 6\sqrt{2} \) واحد است.

آیا نیاز به جزئیات بیشتری دارید یا سوال دیگری دارید؟

پنج سوال مرتبط:
1. اگر فاصله‌ی نقاط از نیمساز برابر با \( 4\sqrt{2} \) باشد، فاصله‌ی بین نقاط چقدر خواهد بود؟
2. خط نیمساز ربع اول و سوم چه ویژگی‌هایی دارد؟
3. چگونه می‌توان فاصله‌ی یک نقطه از یک خط را محاسبه کرد؟
4. اگر نقطه‌ای روی خط \( y = 2x + 3 \) باشد، فاصله‌ی آن از خط \( y = -x \) چگونه محاسبه می‌شود؟
5. چگونه می‌توان معادله‌ی خطی را که از دو نقطه‌ی داده شده می‌گذرد، پیدا کرد؟

**نکته:** همیشه توجه داشته باشید که هنگام حل معادلات مطلق، باید تمام حالت‌های ممکن را در نظر بگیرید.

Learn how to find two points on the line y=x+2 whose distance from the bisector of the second and fourth quadrants is 3√2 units, and calculate the distance between these points. This problem uses concepts from coordinate geometry, including the distance formula and solving absolute value equations. Suitable for Grades 10-12 students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation