برای یافتن دو نقطه‌ای که روی خط $y = x + 2$ قرار دارند و فاصله‌ی آن‌ها از نیمساز ربع دوم و چهارم $3\sqrt{2}$ واحد است، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

1. معادله‌ی خط نیمساز ربع دوم و چهارم: معادله‌ی این خط $y = -x$ است.

2. فاصله از خط $y = -x$: فاصله‌ی یک نقطه $(x_1, y_1)$ از خط $y = -x$ با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود: $d = \frac{|x_1 + y_1|}{\sqrt{2}}$ که در اینجا $d = 3\sqrt{2}$ داده شده است. پس: $\frac{|x_1 + y_1|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ $|x_1 + y_1| = 6$

3. نقاط روی خط $y = x + 2$: هر نقطه روی این خط به صورت $(x, x+2)$ است. بنابراین، فاصله از نیمساز به صورت زیر خواهد بود: $|x + (x+2)| = 6$ $|2x + 2| = 6$

4. حل معادله‌ی مطلق: دو حالت ممکن است: $2x + 2 = 6 \quad \text{یا} \quad 2x + 2 = -6$

   • برای حالت اول: $2x + 2 = 6$ $2x = 4$ $x = 2$ نقطه‌ی اول: $(2, 4)$

   • برای حالت دوم: $2x + 2 = -6$ $2x = -8$ $x = -4$ نقطه‌ی دوم: $(-4, -2)$

5. محاسبه فاصله‌ی دو نقطه: فاصله‌ی بین دو نقطه $(2, 4)$ و $(-4, -2)$ به صورت زیر است: $d = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (4 - (-2))^2}$ $d = \sqrt{(2 + 4)^2 + (4 + 2)^2}$ $d = \sqrt{6^2 + 6^2}$ $d = \sqrt{36 + 36}$ $d = \sqrt{72}$ $d = 6\sqrt{2}$

بنابراین، فاصله‌ی این دو نقطه $6\sqrt{2}$ واحد است.

آیا نیاز به جزئیات بیشتری دارید یا سوال دیگری دارید؟

پنج سوال مرتبط:

1. اگر فاصله‌ی نقاط از نیمساز برابر با $4\sqrt{2}$ باشد، فاصله‌ی بین نقاط چقدر خواهد بود؟
2. خط نیمساز ربع اول و سوم چه ویژگی‌هایی دارد؟
3. چگونه می‌توان فاصله‌ی یک نقطه از یک خط را محاسبه کرد؟
4. اگر نقطه‌ای روی خط $y = 2x + 3$ باشد، فاصله‌ی آن از خط $y = -x$ چگونه محاسبه می‌شود؟
5. چگونه می‌توان معادله‌ی خطی را که از دو نقطه‌ی داده شده می‌گذرد، پیدا کرد؟

نکته: همیشه توجه داشته باشید که هنگام حل معادلات مطلق، باید تمام حالت‌های ممکن را در نظر بگیرید.