Lad os løse opgaverne:

1. Bestem $f'(x)$

Funktionen er givet som: $f(x) = -x^3 - x^2 + 9x - 2$

Vi differentierer hvert led i funktionen:

• $-x^3$ differentieret bliver $-3x^2$.
• $-x^2$ differentieret bliver $-2x$.
• $9x$ differentieret bliver $9$.
• $-2$ differentieret bliver $0$ (da det er en konstant).

Dermed får vi: $f'(x) = -3x^2 - 2x + 9$

2. Bestem $f'(2)$ og forklar betydningen af resultatet

Vi indsætter $x = 2$ i $f'(x)$: $f'(2) = -3(2)^2 - 2(2) + 9$ $= -3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 9$ $= -12 - 4 + 9$ $= -7$

Betydning af resultatet

Resultatet $f'(2) = -7$ betyder, at hældningen af tangenten til grafen for $f(x)$ i punktet $x = 2$ er $-7$. Dette indikerer, at grafen falder relativt stejlt ved dette punkt.

Har du spørgsmål eller ønsker yderligere detaljer?

Her er nogle opfølgende spørgsmål:

1. Hvad betyder det, når hældningen er positiv?
2. Hvordan ændrer hældningen sig for forskellige $x$-værdier i denne funktion?
3. Hvordan kan vi bruge anden afledede til at forstå grafens konkavitet?
4. Hvordan påvirker $f(x)$'s koefficienter grafens form?
5. Hvordan bestemmes tangentens ligning i punktet $x = 2$?

Tip: Når du differentierer en funktion, fokuser på at anvende potensreglen for hvert led, da det sikrer præcision.