Vi har følgende funktion:

$f(x) = 2x^3 + 2x^2 - 18x + 4$

1) Bestem $f'(x)$

For at finde den afledte funktion, $f'(x)$, skal vi anvende reglen for at differentiere polynomier, som går ud på at multiplicere koefficienten med eksponenten og derefter trække én fra eksponenten for hvert led.

Således:

$f'(x) = \frac{d}{dx} (2x^3) + \frac{d}{dx} (2x^2) - \frac{d}{dx} (18x) + \frac{d}{dx} (4)$

Nu beregner vi hvert led:

1. For $2x^3$: $\frac{d}{dx}(2x^3) = 3 \cdot 2x^{3-1} = 6x^2$
2. For $2x^2$: $\frac{d}{dx}(2x^2) = 2 \cdot 2x^{2-1} = 4x$
3. For $-18x$: $\frac{d}{dx}(-18x) = -18$
4. For $4$: $\frac{d}{dx}(4) = 0$ (konstantens afledte er nul)

Dermed bliver den samlede afledte funktion:

$f'(x) = 6x^2 + 4x - 18$

2) Bestem $f'(1)$ og forklar betydningen af resultatet

For at finde $f'(1)$, indsætter vi $x = 1$ i den afledte funktion:

$f'(1) = 6(1)^2 + 4(1) - 18$

Lad os beregne dette:

$f'(1) = 6 \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 18 = 6 + 4 - 18 = -8$

Betydningen af $f'(1) = -8$:

Resultatet $f'(1) = -8$ repræsenterer hældningen på grafen for funktionen $f(x)$ i punktet $x = 1$. Da hældningen er negativ, betyder det, at grafen falder i dette punkt. Med andre ord, når $x$ øges lige omkring 1, falder $f(x)$ med en hastighed på 8 enheder pr. enhed af $x$.

Denne værdi fortæller os også om funktionens lokale væksthastighed, som kan være nyttig til at forstå, hvordan funktionen opfører sig omkring et bestemt punkt.

Har du spørgsmål til løsningen, eller ønsker du en uddybning?

---

Relaterede spørgsmål:

1. Hvordan finder man den anden afledte $f''(x)$, og hvad fortæller den os om grafens form?
2. Hvad er skæringspunktet mellem $f(x)$ og $x$-aksen?
3. Hvordan kan vi finde ekstremumspunkterne for $f(x)$?
4. Hvad fortæller $f'(x)$ os om funktionens monotonicitet?
5. Hvordan kan vi bruge den afledte til at bestemme tangentens ligning i et givet punkt?

---

Tip: Når du arbejder med afledte, kan det være nyttigt at plotte funktionen og dens afledte for at visualisere, hvordan hældningen ændrer sig i forskellige punkter.