a) Bestem $f'(x)$

Vi har funktionen $f(x) = ax^3 + 5x^2 + 2x + 1$. For at finde den afledte funktion $f'(x)$, skal vi differentiere hvert led af funktionen:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(ax^3 + 5x^2 + 2x + 1)$

1. Differentiering af $ax^3$: $\frac{d}{dx}(ax^3) = 3ax^2$

2. Differentiering af $5x^2$: $\frac{d}{dx}(5x^2) = 10x$

3. Differentiering af $2x$: $\frac{d}{dx}(2x) = 2$

4. Differentiering af konstanten $1$: $\frac{d}{dx}(1) = 0$

Sammenlagt giver dette: $f'(x) = 3ax^2 + 10x + 2$

b) Bestem $a$ når $f'(1) = -3$

Vi ved, at $f'(x) = 3ax^2 + 10x + 2$, og vi får at vide, at $f'(1) = -3$. Vi indsætter $x = 1$ i $f'(x)$:

$f'(1) = 3a(1^2) + 10(1) + 2$ $f'(1) = 3a + 10 + 2$ $f'(1) = 3a + 12$

Vi ved, at $f'(1) = -3$, så vi sætter det lig med $3a + 12$:

$-3 = 3a + 12$

Nu isolerer vi $a$:

$-3 - 12 = 3a$ $-15 = 3a$ $a = \frac{-15}{3}$ $a = -5$

Konklusion

$a = -5$ når $f'(1) = -3$.

Har du spørgsmål eller brug for flere detaljer?

Her er 5 relaterede spørgsmål:

1. Hvordan differentierer man produkter af funktioner?
2. Hvad er en andengradsligning, og hvordan løses den?
3. Hvordan finder man den anden afledte funktion af $f(x)$?
4. Hvordan kan man fortolke den afledte funktion geometrisk?
5. Hvad er forskellen på den partielle og totale differentiering?

Tip: Husk altid at kontrollere dine beregninger ved at sætte værdierne ind i den oprindelige funktion.