Soit $z \in \mathbb{C}$ un nombre complexe. Nous devons déterminer l'ensemble des points $z$ tels que $iz^2$ soit un nombre réel, sans utiliser la forme cartésienne $z = x + iy$.

Pour ce faire, procédons de manière générale en écrivant $z$ sous forme exponentielle (forme polaire) :

$z = r e^{i\theta}$

où $r \geq 0$ est le module de $z$ et $\theta$ est son argument (ou argument principal).

Étape 1 : Calcul de $z^2$

Nous savons que :

$z^2 = (r e^{i\theta})^2 = r^2 e^{i2\theta}$

Étape 2 : Calcul de $iz^2$

Nous voulons maintenant calculer $iz^2$. Sachant que $i = e^{i\frac{\pi}{2}}$, nous avons :

$iz^2 = i \cdot r^2 e^{i2\theta} = e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot r^2 e^{i2\theta} = r^2 e^{i(2\theta + \frac{\pi}{2})}$

Étape 3 : Condition pour que $iz^2$ soit réel

Pour que $iz^2$ soit un nombre réel, son argument doit être un multiple de $\pi$, c'est-à-dire que :

$2\theta + \frac{\pi}{2} = k\pi \quad \text{pour} \quad k \in \mathbb{Z}$

Étape 4 : Résolution de l'équation

Résolvons cette équation pour $\theta$ :

$2\theta = k\pi - \frac{\pi}{2}$

$\theta = \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{4}$

Ainsi, les arguments possibles de $z$ sont de la forme :

$\theta = \frac{\pi}{4}(2k - 1) \quad \text{pour} \quad k \in \mathbb{Z}$

Conclusion

L'ensemble des points $z$ tels que $iz^2$ est réel est donné par les points de module quelconque $r \geq 0$ et d'argument $\theta = \frac{\pi}{4}(2k - 1)$, où $k \in \mathbb{Z}$. Cela correspond à des lignes radiales partant de l'origine dans des directions définies par ces angles spécifiques.

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions supplémentaires relatives :

1. Comment exprimer cette solution en coordonnées polaires ?
2. Que se passe-t-il si on utilise la forme cartésienne $z = x + iy$ pour cette résolution ?
3. Comment visualiser l'ensemble des solutions dans le plan complexe ?
4. Comment interpréter cette condition géométriquement ?
5. Existe-t-il des solutions triviales pour certains cas particuliers de $k$ ?

Tip : Travailler en forme polaire simplifie souvent les opérations sur les arguments et modules des nombres complexes.