Determiner l'ensemble des points tels que iz² est réelle (sans utiliser z=x+iy)

Soit \( z \in \mathbb{C} \) un nombre complexe. Nous devons déterminer l'ensemble des points \( z \) tels que \( iz^2 \) soit un nombre réel, sans utiliser la forme cartésienne \( z = x + iy \).

Pour ce faire, procédons de manière générale en écrivant \( z \) sous forme exponentielle (forme polaire) :

\[
z = r e^{i\theta}
\]

où \( r \geq 0 \) est le module de \( z \) et \( \theta \) est son argument (ou argument principal).

### Étape 1 : Calcul de \( z^2 \)

Nous savons que :

\[
z^2 = (r e^{i\theta})^2 = r^2 e^{i2\theta}
\]

### Étape 2 : Calcul de \( iz^2 \)

Nous voulons maintenant calculer \( iz^2 \). Sachant que \( i = e^{i\frac{\pi}{2}} \), nous avons :

\[
iz^2 = i \cdot r^2 e^{i2\theta} = e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot r^2 e^{i2\theta} = r^2 e^{i(2\theta + \frac{\pi}{2})}
\]

### Étape 3 : Condition pour que \( iz^2 \) soit réel

Pour que \( iz^2 \) soit un nombre réel, son argument doit être un multiple de \( \pi \), c'est-à-dire que :

\[
2\theta + \frac{\pi}{2} = k\pi \quad \text{pour} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

### Étape 4 : Résolution de l'équation

Résolvons cette équation pour \( \theta \) :

\[
2\theta = k\pi - \frac{\pi}{2}
\]

\[
\theta = \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{4}
\]

Ainsi, les arguments possibles de \( z \) sont de la forme :

\[
\theta = \frac{\pi}{4}(2k - 1) \quad \text{pour} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

### Conclusion

L'ensemble des points \( z \) tels que \( iz^2 \) est réel est donné par les points de module quelconque \( r \geq 0 \) et d'argument \( \theta = \frac{\pi}{4}(2k - 1) \), où \( k \in \mathbb{Z} \). Cela correspond à des lignes radiales partant de l'origine dans des directions définies par ces angles spécifiques.

### Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions supplémentaires relatives :
1. Comment exprimer cette solution en coordonnées polaires ?
2. Que se passe-t-il si on utilise la forme cartésienne \( z = x + iy \) pour cette résolution ?
3. Comment visualiser l'ensemble des solutions dans le plan complexe ?
4. Comment interpréter cette condition géométriquement ?
5. Existe-t-il des solutions triviales pour certains cas particuliers de \( k \) ?

**Tip** : Travailler en forme polaire simplifie souvent les opérations sur les arguments et modules des nombres complexes.

This problem explores how to find the set of complex numbers z such that iz² is real, using polar coordinates. The solution provides a detailed breakdown of the steps involved, from calculating z² to setting the argument of iz² to be a multiple of π. Ideal for undergraduate students studying complex numbers.

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