Para determinar si el ángulo \( \angle EFC \) es recto, consideremos las condiciones dadas y la disposición de los puntos \( E \), \( F \), y \( G \) en el triángulo \( ABC \).

### Análisis del Problema:

1. **Posición de los puntos**:
   - \( E \) es el punto medio de la altura \( AD \).
   - \( F \) es el punto medio de \( BE \).
   - \( G \) es el punto medio de \( CF \).

2. **Propiedades de los segmentos**:
   - El punto \( E \) está sobre la altura \( AD \), lo que implica que \( E \) está alineado verticalmente en relación con \( A \) y \( D \). Por lo tanto, si \( BE \) es paralelo a la base \( AC \) del triángulo, el ángulo \( \angle EFC \) podría ser recto.

3. **Condición para que \( \angle EFC \) sea recto**:
   - Para que \( \angle EFC \) sea recto, los vectores \( \overrightarrow{EF} \) y \( \overrightarrow{FC} \) deben ser perpendiculares, es decir, su producto escalar debe ser cero.

4. **Análisis vectorial**:
   - Considera que \( E \), \( F \), y \( G \) están definidos por sus posiciones relativas en el triángulo. Dado que \( E \) y \( F \) son puntos medios, el triángulo formado por \( BEF \) es similar a \( ABC \) y es una reducción del triángulo original.
   - Para que \( \angle EFC \) sea recto, es necesario que \( \overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{FC} = 0 \).

### Observaciones importantes:
- La propiedad de que el ángulo \( \angle EFC \) sea recto depende fuertemente de la forma y las proporciones del triángulo original \( ABC \). Sin embargo, **no existe ninguna propiedad general o teorema que garantice que \( \angle EFC \) sea recto únicamente con las condiciones dadas en el problema**.
- Sin información adicional que garantice una condición de perpendicularidad o una simetría particular en el triángulo \( ABC \), **no podemos afirmar que \( \angle EFC \) sea recto en un caso general**.

Por lo tanto, basándonos en las condiciones generales del problema, **no se puede asegurar que el ángulo \( \angle EFC \) sea recto**.

¿Tienes alguna otra pregunta o quieres detalles adicionales?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta la forma del triángulo \( ABC \) a la posición de los puntos \( E \), \( F \), y \( G \)?
2. ¿Qué condiciones adicionales podrían garantizar que \( \angle EFC \) sea recto?
3. ¿Cómo usar vectores para demostrar si un ángulo es recto en un triángulo?
4. ¿Cómo se relacionan las propiedades de los puntos medios con las propiedades de los ángulos en un triángulo?
5. ¿Qué otros métodos geométricos pueden usarse para verificar la perpendicularidad de dos segmentos?

### Tip:
Cuando necesites determinar si un ángulo es recto en geometría, considera utilizar el concepto de producto escalar de vectores o buscar configuraciones de triángulos semejantes o especiales (como el triángulo rectángulo).

Explore the geometry problem of determining if angle EFC is right in triangle ABC. Understand the conditions involving points E, F, and G, and their relationships within the triangle. Includes analysis using vector dot product for perpendicularity.

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