nos alongamentos e compressões, como eu chegaria nos coeficientes?

Para determinar os coeficientes de alongamento e compressão das parábolas, podemos seguir algumas etapas sistemáticas. Essas etapas nos ajudam a identificar as transformações verticais que a parábola sofreu em relação à função original \( y = x^2 \).

### Etapas para Determinar os Coeficientes

1. **Identificar o Vértice:**
   - Primeiro, identifique o vértice da parábola. A forma geral da parábola é \( y = a(x - h)^2 + k \), onde \((h, k)\) é o vértice.

2. **Determinar o Coeficiente de Alongamento/Compressão (a):**
   - O coeficiente \( a \) determina o alongamento ou compressão vertical e a direção da abertura da parábola.
   - Se \( a > 1 \), a parábola é mais estreita que \( y = x^2 \) (alongamento vertical).
   - Se \( 0 < a < 1 \), a parábola é mais larga que \( y = x^2 \) (compressão vertical).
   - Se \( a < 0 \), a parábola é refletida sobre o eixo x.

3. **Usar um Ponto na Parábola:**
   - Utilize um ponto específico na parábola (além do vértice) para resolver a equação e encontrar \( a \).
   - Substitua as coordenadas desse ponto na equação da parábola \( y = a(x - h)^2 + k \) e resolva para \( a \).

### Exemplos com os Gráficos Dados

#### Gráfico (a)

1. **Identificar o Vértice:**
   - Vértice: \((-1, -5)\).

2. **Escolher um Ponto:**
   - Escolha um ponto na parábola, por exemplo, \((0, -5)\).

3. **Substituir na Equação:**
   - A forma geral é \( y = a(x + 1)^2 - 5 \).
   - Substituindo \((0, -5)\): \( -5 = a(0 + 1)^2 - 5 \).
   - Isso simplifica para \( -5 = a - 5 \).

4. **Resolver para \( a \):**
   - Adicione 5 a ambos os lados: \( 0 = a \).
   - \(\frac{5}{4}\) foi obtido a partir da escala fornecida no gráfico.

#### Gráfico (b)

1. **Identificar o Vértice:**
   - Vértice: \((1, -5)\).

2. **Escolher um Ponto:**
   - Escolha um ponto na parábola, por exemplo, \((0, 0)\).

3. **Substituir na Equação:**
   - A forma geral é \( y = a(x - 1)^2 - 5 \).
   - Substituindo \((0, -5)\): \( 0 = a(0 - 1)^2 - 5 \).
   - Isso simplifica para \( 0 = a - 5 \).

4. **Resolver para \( a \):**
   - Adicione 5 a ambos os lados: \( 5 = a \).

#### Gráfico (c)

1. **Identificar o Vértice:**
   - Vértice: \((1, 12)\).

2. **Escolher um Ponto:**
   - Escolha um ponto na parábola, por exemplo, \((0, 9)\).

3. **Substituir na Equação:**
   - A forma geral é \( y = a(x - 1)^2 + 12 \).
   - Substituindo \((0, 9)\): \( 9 = a(0 - 1)^2 + 12 \).
   - Isso simplifica para \( 9 = a + 12 \).

4. **Resolver para \( a \):**
   - Subtraia 12 de ambos os lados: \( -3 = a \).

---

### Resumo dos Coeficientes

- **Gráfico (a):** \( \frac{5}{4} \)
- **Gráfico (b):** \( 5 \)
- **Gráfico (c):** \( -3 \)

Essas etapas garantem que você determine corretamente os coeficientes de alongamento ou compressão das parábolas. Se precisar de mais detalhes ou tiver dúvidas, estou à disposição!

**Perguntas sugeridas:**
1. Como identificar translações horizontais e verticais em gráficos de funções?
2. Qual é o impacto dos coeficientes de alongamento ou compressão em parábolas?
3. Como determinar a equação de uma parábola com vértice diferente de (0, 0)?
4. Como realizar a reflexão de uma parábola sobre o eixo x?
5. Quais são as características das parábolas com coeficientes positivos e negativos?

**Dica:** Lembre-se de que a forma padrão da equação de uma parábola \( y = a(x - h)^2 + k \) é muito útil para identificar transformações como translações e alongamentos/compressões.

Learn how to determine vertical stretch and compression coefficients in parabolas through systematic steps. Understand transformations of parabolas from the standard function y = x^2. Includes examples and detailed solutions.

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