https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1721254357231y5ogc61f.jpg

Observe a figura a seguir.

Determine:

a) as medidas a, bec indicadas na figura;

b) o perímetro do triângulo ABC.

Vamos analisar o triângulo retângulo \( \triangle ABC \) na figura para determinar as medidas \( a \), \( b \) e \( c \), além do perímetro do triângulo.

### a) Determinar \( a \), \( b \) e \( c \):

Sabemos que:
- \( AB = 31 \) cm
- \( BC = 25 \) cm
- \( AP = 11 \) cm (onde \( P \) é a projeção de \( A \) em \( BC \))

### Para calcular \( a \) e \( b \):

Podemos usar o Teorema de Pitágoras no triângulo \( \triangle ABC \):

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

#### Determinar \( b \):

Como \( AP = b = 11 \) cm, já temos a medida de \( b \).

#### Determinar \( a \):

Para encontrar \( a \), podemos usar a relação do perímetro com a área do triângulo e o círculo inscrito. A área do triângulo pode ser dada por:

\[ \text{Área} = \frac{a \cdot b}{2} \]

E a área também pode ser dada pela fórmula do círculo inscrito:

\[ \text{Área} = p \cdot r \]

onde \( p \) é o semi-perímetro do triângulo e \( r \) é o raio do círculo inscrito.

#### Determinar \( c \):

Vamos usar a relação de Pitágoras diretamente:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
\[ 25^2 = a^2 + 11^2 \]
\[ 625 = a^2 + 121 \]
\[ a^2 = 625 - 121 \]
\[ a^2 = 504 \]
\[ a = \sqrt{504} \]
\[ a \approx 22.45 \, \text{cm} \]

Então, temos:
- \( a \approx 22.45 \) cm
- \( b = 11 \) cm
- \( c = 25 \) cm

### b) Determinar o perímetro do triângulo \( \triangle ABC \):

O perímetro \( P \) do triângulo é a soma de seus lados:
\[ P = a + b + c \]
\[ P = 22.45 + 11 + 25 \]
\[ P = 58.45 \, \text{cm} \]

### Resumo:
- \( a \approx 22.45 \) cm
- \( b = 11 \) cm
- \( c = 25 \) cm
- Perímetro do triângulo \( \triangle ABC = 58.45 \, \text{cm} \)

Quer mais detalhes ou tem alguma pergunta?

Aqui estão 5 perguntas que você pode fazer:
1. Como calcular o raio do círculo inscrito em um triângulo?
2. O que é a mediana de um triângulo e como calculá-la?
3. Como determinar a área de um triângulo usando coordenadas?
4. Qual é a fórmula para o cálculo do baricentro de um triângulo?
5. Como resolver problemas envolvendo a Lei dos Senos?

**Dica:** Para problemas com triângulos, lembre-se de usar relações como o Teorema de Pitágoras e propriedades de círculos inscritos para simplificar os cálculos.

Explore how to determine the dimensions a, b, and c of triangle ABC and calculate its perimeter. Includes step-by-step solutions using the Pythagorean theorem and perimeter formula. Ideal for high school students studying geometry.

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