Per risolvere questo problema, seguiremo i seguenti passi:

1. Determinare il dominio naturale della funzione

La funzione è $f(x) = \frac{1 + x + 2x^2}{x - 2}$.

Il dominio naturale della funzione è l'insieme dei valori di $x$ per cui la funzione è definita. Poiché abbiamo una frazione, dobbiamo evitare che il denominatore sia uguale a zero:

$x - 2 \neq 0$

$x \neq 2$

Quindi, il dominio naturale della funzione è:

$D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$

2. Determinare gli intervalli di monotonia

Per determinare gli intervalli di monotonia, dobbiamo calcolare la derivata prima della funzione e studiare il segno di questa derivata.

La funzione è:

$f(x) = \frac{1 + x + 2x^2}{x - 2}$

Applichiamo la regola del quoziente per trovare la derivata:

$f'(x) = \frac{(x - 2) \cdot (1 + 2 \cdot 2x) - (1 + x + 2x^2) \cdot 1}{(x - 2)^2}$

Ora, semplifichiamo il numeratore:

$f'(x) = \frac{(x - 2)(1 + 4x) - (1 + x + 2x^2)}{(x - 2)^2}$ $= \frac{x + 4x^2 - 2 - 8x - 1 - x - 2x^2}{(x - 2)^2}$ $= \frac{2x^2 - 7x - 3}{(x - 2)^2}$

3. Studiare il segno della derivata

Per determinare il segno della derivata, dobbiamo studiare il segno del numeratore $2x^2 - 7x - 3$.

Troviamo le radici del polinomio usando la formula risolutiva:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ con $a = 2$, $b = -7$ e $c = -3$.

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 24}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{73}}{4}$

Chiamiamo $x_1 = \frac{7 - \sqrt{73}}{4}$ e $x_2 = \frac{7 + \sqrt{73}}{4}$.

Il numeratore cambia segno nei punti $x_1$ e $x_2$, quindi gli intervalli di monotonia sono determinati in base a questi punti e al segno del numeratore in ciascun intervallo.

La derivata sarà positiva, e quindi la funzione crescente, dove $2x^2 - 7x - 3 > 0$, e negativa, e quindi la funzione decrescente, dove $2x^2 - 7x - 3 < 0$.

Risultato finale sugli intervalli di monotonia:

La funzione sarà crescente negli intervalli: $(-\infty, x_1) \cup (x_2, 2)$

e decrescente negli intervalli: $(x_1, x_2) \cup (2, \infty)$

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Hai domande o desideri ulteriori dettagli su qualche passaggio?

Domande relative:

1. Come si risolvono equazioni quadratiche simili per trovare le radici?
2. Qual è il significato geometrico della derivata di una funzione?
3. Come si studia il segno di una funzione razionale?
4. Qual è l'importanza di determinare gli intervalli di monotonia di una funzione?
5. Come influisce un asintoto verticale sul comportamento di una funzione?

Consiglio:

Quando studi gli intervalli di monotonia, ricorda che le radici della derivata prima indicano i punti critici, dove la funzione potrebbe passare da crescente a decrescente o viceversa.