Dopo aver determinato il dominio naturale della funzione f(x)=(1+x+2x^2)/(x-2) si stabiliscano gli intervalli di monotonia;

Per risolvere questo problema, seguiremo i seguenti passi:

### 1. **Determinare il dominio naturale della funzione**

La funzione è \( f(x) = \frac{1 + x + 2x^2}{x - 2} \).

Il dominio naturale della funzione è l'insieme dei valori di \( x \) per cui la funzione è definita. Poiché abbiamo una frazione, dobbiamo evitare che il denominatore sia uguale a zero:

\[ x - 2 \neq 0 \]

\[ x \neq 2 \]

Quindi, il dominio naturale della funzione è:

\[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\} \]

### 2. **Determinare gli intervalli di monotonia**

Per determinare gli intervalli di monotonia, dobbiamo calcolare la derivata prima della funzione e studiare il segno di questa derivata.

La funzione è:

\[ f(x) = \frac{1 + x + 2x^2}{x - 2} \]

Applichiamo la regola del quoziente per trovare la derivata:

\[ f'(x) = \frac{(x - 2) \cdot (1 + 2 \cdot 2x) - (1 + x + 2x^2) \cdot 1}{(x - 2)^2} \]

Ora, semplifichiamo il numeratore:

\[
f'(x) = \frac{(x - 2)(1 + 4x) - (1 + x + 2x^2)}{(x - 2)^2}
\]
\[
= \frac{x + 4x^2 - 2 - 8x - 1 - x - 2x^2}{(x - 2)^2}
\]
\[
= \frac{2x^2 - 7x - 3}{(x - 2)^2}
\]

### 3. **Studiare il segno della derivata**

Per determinare il segno della derivata, dobbiamo studiare il segno del numeratore \( 2x^2 - 7x - 3 \).

Troviamo le radici del polinomio usando la formula risolutiva:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
con \( a = 2 \), \( b = -7 \) e \( c = -3 \).

\[
x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 24}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{73}}{4}
\]

Chiamiamo \( x_1 = \frac{7 - \sqrt{73}}{4} \) e \( x_2 = \frac{7 + \sqrt{73}}{4} \).

Il numeratore cambia segno nei punti \( x_1 \) e \( x_2 \), quindi gli intervalli di monotonia sono determinati in base a questi punti e al segno del numeratore in ciascun intervallo.

La derivata sarà positiva, e quindi la funzione crescente, dove \( 2x^2 - 7x - 3 > 0 \), e negativa, e quindi la funzione decrescente, dove \( 2x^2 - 7x - 3 < 0 \).

### **Risultato finale sugli intervalli di monotonia:**

La funzione sarà crescente negli intervalli:
\[ (-\infty, x_1) \cup (x_2, 2) \]

e decrescente negli intervalli:
\[ (x_1, x_2) \cup (2, \infty) \]

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Hai domande o desideri ulteriori dettagli su qualche passaggio?

### Domande relative:
1. Come si risolvono equazioni quadratiche simili per trovare le radici?
2. Qual è il significato geometrico della derivata di una funzione?
3. Come si studia il segno di una funzione razionale?
4. Qual è l'importanza di determinare gli intervalli di monotonia di una funzione?
5. Come influisce un asintoto verticale sul comportamento di una funzione?

### Consiglio:
Quando studi gli intervalli di monotonia, ricorda che le radici della derivata prima indicano i punti critici, dove la funzione potrebbe passare da crescente a decrescente o viceversa.

Explore how to determine the monotonic intervals of the function f(x) = (1 + x + 2x^2) / (x - 2). This problem covers finding the natural domain of a function and analyzing its monotonic behavior using differentiation. Suitable for advanced high school or college students.

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