Certamente! Vediamo come determinare gli intervalli di monotonia della funzione $f(x) = \frac{x - 2x^2}{2x - 2}$ senza effettuare raccoglimenti. Seguiremo i seguenti passaggi:

1. Dominio della funzione

Abbiamo già determinato che il dominio della funzione è:

$D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$

2. Calcolo della derivata prima

Utilizziamo la regola del quoziente per calcolare la derivata di $f(x)$:

$f'(x) = \frac{(x - 2x^2)'(2x - 2) - (x - 2x^2)(2x - 2)'}{(2x - 2)^2}$

Dove:

• $u(x) = x - 2x^2$ è il numeratore,
• $v(x) = 2x - 2$ è il denominatore.

Calcoliamo le derivate:

$u'(x) = 1 - 4x$ $v'(x) = 2$

Sostituendo nella formula della derivata del quoziente:

$f'(x) = \frac{(1 - 4x)(2x - 2) - (x - 2x^2)(2)}{(2x - 2)^2}$

3. Espansione dei termini

Espandiamo i prodotti al numeratore:

1. Calcoliamo il primo prodotto: $(1 - 4x)(2x - 2) = 2x - 2 - 8x^2 + 8x = -8x^2 + 10x - 2$

2. Calcoliamo il secondo prodotto: $(x - 2x^2)(2) = 2x - 4x^2$

3. Sostituiamo questi risultati nel numeratore di $f'(x)$: $f'(x) = \frac{-8x^2 + 10x - 2 - (2x - 4x^2)}{(2x - 2)^2} = \frac{-8x^2 + 10x - 2 - 2x + 4x^2}{(2x - 2)^2}$

4. Semplifichiamo il numeratore: $f'(x) = \frac{-4x^2 + 8x - 2}{(2x - 2)^2}$

4. Segno della derivata prima

Per trovare gli intervalli di monotonia, dobbiamo determinare dove $f'(x)$ è positiva, negativa o nulla.

• Il numeratore $-4x^2 + 8x - 2$ è un trinomio di secondo grado.
• Il denominatore $(2x - 2)^2$ è sempre positivo per $x \neq 1$.

Studiamo il segno del numeratore risolvendo l'equazione quadratica:

$-4x^2 + 8x - 2 = 0$

Dividendo tutto per $-2$:

$2x^2 - 4x + 1 = 0$

Applichiamo la formula risolutiva:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}$

Quindi le radici sono:

$x_1 = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}, \quad x_2 = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$

5. Intervalli di monotonia

Ora possiamo determinare il segno di $f'(x)$ e gli intervalli di monotonia. Il trinomio quadratico cambia segno alle radici, quindi possiamo analizzare gli intervalli:

• $x < \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$: $f'(x) > 0$ (crescente)
• $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} < x < \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$: $f'(x) < 0$ (decrescente)
• $x > \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$: $f'(x) > 0$ (crescente)

Risultato

Gli intervalli di monotonia della funzione sono:

• Crescente per $x \in (-\infty, \frac{2 - \sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{2 + \sqrt{2}}{2}, 1)$
• Decrescente per $x \in (\frac{2 - \sqrt{2}}{2}, \frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

---

Hai altre domande su questo esercizio o preferisci un approfondimento su qualche passaggio?

Domande correlate:

1. Come si risolve un'equazione quadratica?
2. Che differenza c'è tra i punti critici e i punti di non derivabilità?
3. Come si verifica la concavità di una funzione?
4. Come si disegna il grafico di una funzione a partire dalla derivata prima?
5. Quali sono le applicazioni della derivata nella vita quotidiana?

Suggerimento: Quando studi il segno della derivata prima, presta attenzione ai cambiamenti di segno: essi indicano punti di massimo o minimo locale.