puoi farmi vedere come svolgere l'esercizio senza effettuare raccoglimenti a numeratore e denominatore

Certamente! Vediamo come determinare gli intervalli di monotonia della funzione \( f(x) = \frac{x - 2x^2}{2x - 2} \) senza effettuare raccoglimenti. Seguiremo i seguenti passaggi:

### 1. Dominio della funzione

Abbiamo già determinato che il dominio della funzione è:

\[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} \]

### 2. Calcolo della derivata prima

Utilizziamo la regola del quoziente per calcolare la derivata di \( f(x) \):

\[
f'(x) = \frac{(x - 2x^2)'(2x - 2) - (x - 2x^2)(2x - 2)'}{(2x - 2)^2}
\]

Dove:
- \( u(x) = x - 2x^2 \) è il numeratore,
- \( v(x) = 2x - 2 \) è il denominatore.

Calcoliamo le derivate:

\[
u'(x) = 1 - 4x
\]
\[
v'(x) = 2
\]

Sostituendo nella formula della derivata del quoziente:

\[
f'(x) = \frac{(1 - 4x)(2x - 2) - (x - 2x^2)(2)}{(2x - 2)^2}
\]

### 3. Espansione dei termini

Espandiamo i prodotti al numeratore:

1. Calcoliamo il primo prodotto:
   \[
   (1 - 4x)(2x - 2) = 2x - 2 - 8x^2 + 8x = -8x^2 + 10x - 2
   \]

2. Calcoliamo il secondo prodotto:
   \[
   (x - 2x^2)(2) = 2x - 4x^2
   \]

3. Sostituiamo questi risultati nel numeratore di \( f'(x) \):
   \[
   f'(x) = \frac{-8x^2 + 10x - 2 - (2x - 4x^2)}{(2x - 2)^2} = \frac{-8x^2 + 10x - 2 - 2x + 4x^2}{(2x - 2)^2}
   \]

4. Semplifichiamo il numeratore:
   \[
   f'(x) = \frac{-4x^2 + 8x - 2}{(2x - 2)^2}
   \]

### 4. Segno della derivata prima

Per trovare gli intervalli di monotonia, dobbiamo determinare dove \( f'(x) \) è positiva, negativa o nulla.

- Il numeratore \( -4x^2 + 8x - 2 \) è un trinomio di secondo grado.
- Il denominatore \( (2x - 2)^2 \) è sempre positivo per \( x \neq 1 \).

Studiamo il segno del numeratore risolvendo l'equazione quadratica:

\[
-4x^2 + 8x - 2 = 0
\]

Dividendo tutto per \(-2\):

\[
2x^2 - 4x + 1 = 0
\]

Applichiamo la formula risolutiva:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}
\]

Quindi le radici sono:

\[
x_1 = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}, \quad x_2 = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}
\]

### 5. Intervalli di monotonia

Ora possiamo determinare il segno di \( f'(x) \) e gli intervalli di monotonia. Il trinomio quadratico cambia segno alle radici, quindi possiamo analizzare gli intervalli:

- \( x < \frac{2 - \sqrt{2}}{2} \): \( f'(x) > 0 \) (crescente)
- \( \frac{2 - \sqrt{2}}{2} < x < \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \): \( f'(x) < 0 \) (decrescente)
- \( x > \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \): \( f'(x) > 0 \) (crescente)

### Risultato

Gli intervalli di monotonia della funzione sono:

- **Crescente** per \( x \in (-\infty, \frac{2 - \sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{2 + \sqrt{2}}{2}, 1) \)
- **Decrescente** per \( x \in (\frac{2 - \sqrt{2}}{2}, \frac{2 + \sqrt{2}}{2}) \)

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Hai altre domande su questo esercizio o preferisci un approfondimento su qualche passaggio?

**Domande correlate:**
1. Come si risolve un'equazione quadratica?
2. Che differenza c'è tra i punti critici e i punti di non derivabilità?
3. Come si verifica la concavità di una funzione?
4. Come si disegna il grafico di una funzione a partire dalla derivata prima?
5. Quali sono le applicazioni della derivata nella vita quotidiana?

**Suggerimento:** Quando studi il segno della derivata prima, presta attenzione ai cambiamenti di segno: essi indicano punti di massimo o minimo locale.

Learn how to determine monotonic intervals of the function f(x) = (x - 2x^2) / (2x - 2) without simplifying numerator and denominator. This problem involves advanced calculus concepts, including the quotient rule for derivatives and interval analysis. Suitable for advanced high school and college-level students.

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