Math Problem Statement

Как да определим интервалите в които функцията нараства и намаля

Solution

За да определим интервалите, в които дадена функция нараства или намалява, следвайте следните стъпки:

Стъпки за определяне на интервали на нарастване и намаляване:

  1. Намерете производната на функцията: Производната f(x)f'(x) показва скоростта на промяна на функцията f(x)f(x).

  2. Намерете критичните точки: Критичните точки са тези стойности на xx, за които f(x)=0f'(x) = 0 или f(x)f'(x) не съществува. Те разделят интервала на подинтервали.

  3. Определете знака на производната във всеки интервал:

    • Изберете произволна стойност xx от всеки интервал между критичните точки.
    • Изчислете f(x)f'(x) за тези стойности.
      • Ако f(x)>0f'(x) > 0, функцията нараства в този интервал.
      • Ако f(x)<0f'(x) < 0, функцията намалява в този интервал.
  4. Запишете интервалите на нарастване и намаляване:

    • Интервалите, в които f(x)>0f'(x) > 0, са интервалите на нарастване.
    • Интервалите, в които f(x)<0f'(x) < 0, са интервалите на намаляване.

Пример:

Да разгледаме функцията f(x)=x33x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4.

  1. Производната е: f(x)=3x26xf'(x) = 3x^2 - 6x

  2. Намерете критичните точки: f(x)=3x(x2)=0    x=0иx=2f'(x) = 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \, \text{и} \, x = 2

  3. Определете знака на f(x)f'(x) в интервалите:

    • За x(,0)x \in (-\infty, 0), изберете x=1x = -1: f(1)=3(1)(3)=9>0f'(-1) = 3(-1)(-3) = 9 > 0 (нараства).
    • За x(0,2)x \in (0, 2), изберете x=1x = 1: f(1)=3(1)(1)=3<0f'(1) = 3(1)(-1) = -3 < 0 (намалява).
    • За x(2,)x \in (2, \infty), изберете x=3x = 3: f(3)=3(3)(1)=9>0f'(3) = 3(3)(1) = 9 > 0 (нараства).
  4. Интервали:

    • Нараства в (,0)(2,)(-\infty, 0) \cup (2, \infty)
    • Намалява в (0,2)(0, 2)

Съвет:

Винаги проверявайте стойностите на производната внимателно и запазвайте яснота в записа на интервалите. Ако функцията има сложна производна, използвайте помощни средства като таблица на знаците.


Имате ли въпроси или искате примери за друга функция? Ето пет свързани въпроса:

  1. Как да намерим критичните точки за по-сложна функция?
  2. Какво да правим, ако функцията включва абсолютна стойност?
  3. Как интервалите на нарастване и намаляване се отразяват върху графиката?
  4. Можем ли да определим вида на екстремумите (минимум/максимум) с тази процедура?
  5. Как се справяме с рационални функции?

Съвет: Често е полезно да начертаете графиката за визуално потвърждение на анализа.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Calculus
Derivative Analysis
Intervals of Increase and Decrease

Formulas

f'(x) > 0 (function is increasing)
f'(x) < 0 (function is decreasing)
Critical points: f'(x) = 0 or undefined

Theorems

First Derivative Test

Suitable Grade Level

Grades 11-12 or Introductory University Level