Na opačných koncích náměstí stojí proti sobě kostelní a radniční věž. Kostelní věž je 
vysoká 45 m a z jejího vrcholu je vidět pata radniční věže pod hloubkovým úhlem 
α = ° 23 . Pata kostelní věže je z vrcholu radniční věže vidět pod hloubkovým úhlem 
β = ° 31 . Bez výpočtu rozhodni, která z věží je vyšší. Urči výšku radniční věže. Jak 
dlouhé je náměstí? 

Podívejme se na tento problém:

Máme dvě věže, kostelní věž a radniční věž, které stojí na opačných koncích náměstí. Kostelní věž je vysoká 45 metrů. K určení, která z věží je vyšší, můžeme použít hloubkové úhly α a β, což jsou úhly, pod kterými je vidět pata druhé věže z vrcholu té první.

### 1. Která z věží je vyšší?
- **Hloubkový úhel α = 23°**: Tento úhel je úhel, pod kterým je vidět pata radniční věže z vrcholu kostelní věže.
- **Hloubkový úhel β = 31°**: Tento úhel je úhel, pod kterým je vidět pata kostelní věže z vrcholu radniční věže.

Pokud porovnáme tyto úhly, platí, že čím větší je hloubkový úhel, tím blíže je pozorovaný bod k pozorovateli (v tomto případě k vrcholu věže). Vzhledem k tomu, že β je větší než α, můžeme bez výpočtu rozhodnout, že radniční věž je vyšší než kostelní věž.

### 2. Určení výšky radniční věže
Předpokládejme, že výška radniční věže je \( h_r \) a délka náměstí (vzdálenost mezi věžemi) je \( d \).

Pro kostelní věž můžeme použít tangens úhlu α:
\[
\tan(\alpha) = \frac{45}{d}
\]
\[
d = \frac{45}{\tan(23^\circ)}
\]

Pro radniční věž můžeme také použít tangens úhlu β:
\[
\tan(\beta) = \frac{h_r}{d}
\]
\[
h_r = d \cdot \tan(31^\circ)
\]

Nyní dosadíme první rovnici do druhé:
\[
h_r = \frac{45}{\tan(23^\circ)} \cdot \tan(31^\circ)
\]

### Výpočet
Nyní tento výraz vypočítám.Výška radniční věže je přibližně **63,7 metru** a délka náměstí (vzdálenost mezi věžemi) je přibližně **106 metrů**.

Tedy radniční věž je vyšší než kostelní věž.

Máš nějaké další otázky nebo chceš podrobnosti? 

Zde je 5 souvisejících otázek:
1. Jak by se změnily úhly α a β, kdyby byly věže blíže k sobě?
2. Jak by se změnila výška radniční věže, pokud by byla delší náměstí?
3. Jaký vliv by měl jiný hloubkový úhel α na výpočet délky náměstí?
4. Co se stane s úhly α a β, pokud by radniční věž byla nižší než kostelní věž?
5. Jaké jiné trigonometrické funkce bychom mohli použít pro výpočet vzdáleností mezi objekty?

**Tip:** V trigonometrii je tangens úhlu užitečný pro výpočet poměru výšky k délce, což umožňuje snadno odvodit chybějící veličinu při známých úhlech a jedné z délek.

Explore how to determine the heights of church and town hall towers using trigonometric angles. Calculate the height of the town hall tower and the distance between the towers based on given angles and tower heights. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation