Para resolver este problema, podemos utilizar la trigonometría, específicamente la tangente de los ángulos de elevación. Definamos las variables y planteemos el problema en términos de las funciones trigonométricas:

• Sea $h$ la altura de la torre.
• Sea $d$ la distancia desde el primer punto de observación a la base de la torre.
• La distancia horizontal entre los dos puntos de observación es 180 m.

Desde el primer punto de observación:

• El ángulo de elevación es $10^\circ$.
• $\tan(10^\circ) = \frac{h}{d}$.

Desde el segundo punto de observación, que está 180 m más cerca de la torre:

• El ángulo de elevación es $15^\circ$.
• $\tan(15^\circ) = \frac{h}{d - 180}$.

Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas:

$\tan(10^\circ) = \frac{h}{d} \quad \text{(1)}$ $\tan(15^\circ) = \frac{h}{d - 180} \quad \text{(2)}$

Primero, resolvemos la ecuación (1) para $h$:

$h = d \cdot \tan(10^\circ)$

Luego, sustituimos $h$ en la ecuación (2):

$\tan(15^\circ) = \frac{d \cdot \tan(10^\circ)}{d - 180}$

Ahora, resolvemos para $d$:

$\tan(15^\circ) (d - 180) = d \cdot \tan(10^\circ)$

Despejamos $d$:

$\tan(15^\circ) \cdot d - 180 \cdot \tan(15^\circ) = d \cdot \tan(10^\circ)$

$d \cdot \tan(15^\circ) - d \cdot \tan(10^\circ) = 180 \cdot \tan(15^\circ)$

Factorizamos $d$:

$d (\tan(15^\circ) - \tan(10^\circ)) = 180 \cdot \tan(15^\circ)$

Finalmente, obtenemos $d$:

$d = \frac{180 \cdot \tan(15^\circ)}{\tan(15^\circ) - \tan(10^\circ)}$

Ahora calculamos los valores numéricos:

$\tan(10^\circ) \approx 0.1763$ $\tan(15^\circ) \approx 0.2679$

$d = \frac{180 \cdot 0.2679}{0.2679 - 0.1763} = \frac{48.222}{0.0916} \approx 526.61 \text{ m}$

Ahora que tenemos $d$, calculamos $h$:

$h = d \cdot \tan(10^\circ) = 526.61 \cdot 0.1763 \approx 92.84 \text{ m}$

Entonces, la distancia desde la torre hasta el segundo punto de observación es:

$d - 180 \approx 526.61 - 180 = 346.61 \text{ m}$

Y la altura de la torre es:

$h \approx 92.84 \text{ m}$

Respuestas:

• La distancia desde la torre al segundo punto de observación es aproximadamente $346.61 \text{ m}$.
• La altura de la torre es aproximadamente $92.84 \text{ m}$.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

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Tip: Cuando resuelvas problemas de trigonometría que involucran ángulos de elevación o depresión, asegúrate de dibujar un diagrama para visualizar el problema y relacionar mejor las variables.