Pour déterminer lesquels de ces ensembles sont vides, il faut examiner les inégalités et équations qui les définissent.

1. Ensemble A: $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3x \geq 2\}$

   • Résolvons l'inéquation $x^2 - 3x - 2 \geq 0$.
   • Factorisation du trinôme : $(x - 2)(x + 1) \geq 0$.
   • Cette inéquation est satisfaite pour $x \leq -1$ ou $x \geq 2$.
   • Donc, $A$ n'est pas vide car il y a des solutions réelles.

2. Ensemble B: $B = \{x \in \mathbb{R}^- \mid \frac{x+1}{2x-1} \geq 2\}$ où $\mathbb{R}^-$ est l'ensemble des réels négatifs.

   • Résolvons l'inéquation $\frac{x+1}{2x-1} \geq 2$.
   • Multiplions par $2x - 1$ (en considérant les signes) : $x + 1 \geq 2(2x - 1)$.
   • $x + 1 \geq 4x - 2$, donc $3x \leq 3$, soit $x \leq 1$.
   • Puisque $x$ est dans $\mathbb{R}^-$ et doit être négatif, vérifions les solutions.
   • Pour $x \in \mathbb{R}^-$, $\frac{x+1}{2x-1} \geq 2$ n'a pas de solution (l'inéquation change de signe), donc $B$ est vide.

3. Ensemble C: $C = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 - 3xy + y^2 = 4\}$

   • Il s'agit d'une équation quadratique en $x$ et $y$.
   • En général, une équation quadratique de ce type peut décrire une conique (ellipse, hyperbole, parabole), et il y a des solutions possibles.
   • Donc, $C$ n'est pas vide.

4. Ensemble D: $D = \{(x, y) \in [0, 2] \times [0, 1] \mid 2x - y - 4 > 0\}$

   • Considérons l'inéquation $2x - y > 4$.
   • Pour $x$ dans $[0, 2]$ et $y$ dans $[0, 1]$, la valeur maximale de $2x - y$ est $4 - 1 = 3$, ce qui ne satisfait pas $2x - y > 4$.
   • Donc, l'ensemble $D$ est vide.

Conclusion:

• Les ensembles B et D sont vides.

Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ? Voici 5 questions supplémentaires pour approfondir le sujet :

1. Comment factoriser un trinôme pour résoudre une inéquation quadratique ?
2. Quelle est l'importance de vérifier les signes lors de la résolution d'inéquations ?
3. Quels types de coniques peuvent être décrits par une équation quadratique en deux variables ?
4. Comment déterminer si une région plane définie par des inégalités est vide ?
5. Quelle est l'application des ensembles dans la résolution des systèmes d'équations et d'inéquations ?

Astuce: Lors de la résolution d'inéquations, il est crucial de vérifier les intervalles de validité après avoir multiplié ou divisé par une expression contenant la variable pour s'assurer que vous ne changez pas le sens de l'inégalité sans le vouloir.