I- DESIGUALDADES 1. Encontrar los valores de "𝑥" que satisfacen simultáneamente las dos condiciones. a) 2(𝑥 + 1) ≤ 3 (𝑥 + 1 3 ) ∧ 2(𝑥 + 12) − 3 ≥ 5(𝑥 + 2) b) 3(𝑥 − 2) ≤ 4 (3𝑥 − 3 4 ) ∧ 2𝑥 + 11 ≤ 𝑥 + 22 c) 𝑥 + 15 < −2 (1 − 1 4 𝑥) + 12 ∧ 5(𝑥 + 1) − 10 ≤ 6( 1 3 𝑥 + 2) 

Para resolver cada uno de estos sistemas de desigualdades, debemos abordar cada desigualdad por separado y luego encontrar la intersección de las soluciones de ambas desigualdades. Vamos a resolver cada caso:

### a) \(2(x + 1) \leq 3\left(x + \frac{13}{4}\right)\) ∧ \(2(x + 12) - 3 \geq 5(x + 2)\)

**Primera desigualdad:**
\[
2(x + 1) \leq 3\left(x + \frac{13}{4}\right)
\]
Expandimos y simplificamos:
\[
2x + 2 \leq 3x + \frac{39}{4}
\]
Restamos \(2x\) en ambos lados:
\[
2 \leq x + \frac{39}{4}
\]
Restamos \(\frac{39}{4}\) de ambos lados y simplificamos:
\[
2 - \frac{39}{4} \leq x
\]
\[
\frac{8}{4} - \frac{39}{4} \leq x
\]
\[
-\frac{31}{4} \leq x
\]
\[
x \geq -\frac{31}{4} \quad \text{(o)} \quad x \geq -7.75
\]

**Segunda desigualdad:**
\[
2(x + 12) - 3 \geq 5(x + 2)
\]
Expandimos y simplificamos:
\[
2x + 24 - 3 \geq 5x + 10
\]
Simplificamos:
\[
2x + 21 \geq 5x + 10
\]
Restamos \(2x\) de ambos lados:
\[
21 \geq 3x + 10
\]
Restamos 10 de ambos lados:
\[
11 \geq 3x
\]
Dividimos entre 3:
\[
x \leq \frac{11}{3} \quad \text{(o)} \quad x \leq 3.67
\]

**Intersección de las soluciones para a):**
\[
-\frac{31}{4} \leq x \leq \frac{11}{3}
\]
\[
\text{La solución es: } -7.75 \leq x \leq 3.67
\]

### b) \(3(x - 2) \leq 4\left(3x - \frac{3}{4}\right)\) ∧ \(2x + 11 \leq x + 22\)

**Primera desigualdad:**
\[
3(x - 2) \leq 4\left(3x - \frac{3}{4}\right)
\]
Expandimos y simplificamos:
\[
3x - 6 \leq 12x - 3
\]
Restamos \(3x\) de ambos lados:
\[
-6 \leq 9x - 3
\]
Sumamos 3 a ambos lados:
\[
-3 \leq 9x
\]
Dividimos entre 9:
\[
x \geq -\frac{1}{3} \quad \text{(o)} \quad x \geq -0.33
\]

**Segunda desigualdad:**
\[
2x + 11 \leq x + 22
\]
Restamos \(x\) de ambos lados:
\[
x + 11 \leq 22
\]
Restamos 11 de ambos lados:
\[
x \leq 11
\]

**Intersección de las soluciones para b):**
\[
-\frac{1}{3} \leq x \leq 11
\]
\[
\text{La solución es: } -0.33 \leq x \leq 11
\]

### c) \(x + 15 < -2\left(1 - \frac{1}{4}x\right) + 12\) ∧ \(5(x + 1) - 10 \leq 6\left(\frac{1}{3}x + 2\right)\)

**Primera desigualdad:**
\[
x + 15 < -2\left(1 - \frac{1}{4}x\right) + 12
\]
Expandimos y simplificamos:
\[
x + 15 < -2 + \frac{1}{2}x + 12
\]
Simplificamos:
\[
x + 15 < \frac{1}{2}x + 10
\]
Restamos \(\frac{1}{2}x\) de ambos lados:
\[
\frac{1}{2}x + 15 < 10
\]
Restamos 15 de ambos lados:
\[
\frac{1}{2}x < -5
\]
Multiplicamos por 2:
\[
x < -10
\]

**Segunda desigualdad:**
\[
5(x + 1) - 10 \leq 6\left(\frac{1}{3}x + 2\right)
\]
Expandimos y simplificamos:
\[
5x + 5 - 10 \leq 2x + 12
\]
Simplificamos:
\[
5x - 5 \leq 2x + 12
\]
Restamos \(2x\) de ambos lados:
\[
3x - 5 \leq 12
\]
Sumamos 5 a ambos lados:
\[
3x \leq 17
\]
Dividimos entre 3:
\[
x \leq \frac{17}{3} \quad \text{(o)} \quad x \leq 5.67
\]

**Intersección de las soluciones para c):**
\[
x < -10 \quad \text{y} \quad x \leq 5.67
\]
\[
\text{La solución es: } x < -10
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se manejan las desigualdades que incluyen valores absolutos?
2. ¿Qué métodos se utilizan para resolver desigualdades cuadráticas?
3. ¿Cómo se resuelve un sistema de desigualdades con más de dos variables?
4. ¿Cuáles son las implicaciones de multiplicar o dividir una desigualdad por un número negativo?
5. ¿Qué técnicas existen para resolver desigualdades en contextos geométricos?

**Tip:** Siempre verifica el rango de valores resultante para asegurarte de que la intersección sea correcta y completa.

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