Para resolver cada uno de estos sistemas de desigualdades, debemos abordar cada desigualdad por separado y luego encontrar la intersección de las soluciones de ambas desigualdades. Vamos a resolver cada caso:

a) $2(x + 1) \leq 3\left(x + \frac{13}{4}\right)$ ∧ $2(x + 12) - 3 \geq 5(x + 2)$

Primera desigualdad: $2(x + 1) \leq 3\left(x + \frac{13}{4}\right)$ Expandimos y simplificamos: $2x + 2 \leq 3x + \frac{39}{4}$ Restamos $2x$ en ambos lados: $2 \leq x + \frac{39}{4}$ Restamos $\frac{39}{4}$ de ambos lados y simplificamos: $2 - \frac{39}{4} \leq x$ $\frac{8}{4} - \frac{39}{4} \leq x$ $-\frac{31}{4} \leq x$ $x \geq -\frac{31}{4} \quad \text{(o)} \quad x \geq -7.75$

Segunda desigualdad: $2(x + 12) - 3 \geq 5(x + 2)$ Expandimos y simplificamos: $2x + 24 - 3 \geq 5x + 10$ Simplificamos: $2x + 21 \geq 5x + 10$ Restamos $2x$ de ambos lados: $21 \geq 3x + 10$ Restamos 10 de ambos lados: $11 \geq 3x$ Dividimos entre 3: $x \leq \frac{11}{3} \quad \text{(o)} \quad x \leq 3.67$

Intersección de las soluciones para a): $-\frac{31}{4} \leq x \leq \frac{11}{3}$ $\text{La solución es: } -7.75 \leq x \leq 3.67$

b) $3(x - 2) \leq 4\left(3x - \frac{3}{4}\right)$ ∧ $2x + 11 \leq x + 22$

Primera desigualdad: $3(x - 2) \leq 4\left(3x - \frac{3}{4}\right)$ Expandimos y simplificamos: $3x - 6 \leq 12x - 3$ Restamos $3x$ de ambos lados: $-6 \leq 9x - 3$ Sumamos 3 a ambos lados: $-3 \leq 9x$ Dividimos entre 9: $x \geq -\frac{1}{3} \quad \text{(o)} \quad x \geq -0.33$

Segunda desigualdad: $2x + 11 \leq x + 22$ Restamos $x$ de ambos lados: $x + 11 \leq 22$ Restamos 11 de ambos lados: $x \leq 11$

Intersección de las soluciones para b): $-\frac{1}{3} \leq x \leq 11$ $\text{La solución es: } -0.33 \leq x \leq 11$

c) $x + 15 < -2\left(1 - \frac{1}{4}x\right) + 12$ ∧ $5(x + 1) - 10 \leq 6\left(\frac{1}{3}x + 2\right)$

Primera desigualdad: $x + 15 < -2\left(1 - \frac{1}{4}x\right) + 12$ Expandimos y simplificamos: $x + 15 < -2 + \frac{1}{2}x + 12$ Simplificamos: $x + 15 < \frac{1}{2}x + 10$ Restamos $\frac{1}{2}x$ de ambos lados: $\frac{1}{2}x + 15 < 10$ Restamos 15 de ambos lados: $\frac{1}{2}x < -5$ Multiplicamos por 2: $x < -10$

Segunda desigualdad: $5(x + 1) - 10 \leq 6\left(\frac{1}{3}x + 2\right)$ Expandimos y simplificamos: $5x + 5 - 10 \leq 2x + 12$ Simplificamos: $5x - 5 \leq 2x + 12$ Restamos $2x$ de ambos lados: $3x - 5 \leq 12$ Sumamos 5 a ambos lados: $3x \leq 17$ Dividimos entre 3: $x \leq \frac{17}{3} \quad \text{(o)} \quad x \leq 5.67$

Intersección de las soluciones para c): $x < -10 \quad \text{y} \quad x \leq 5.67$ $\text{La solución es: } x < -10$

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Tip: Siempre verifica el rango de valores resultante para asegurarte de que la intersección sea correcta y completa.