Para resolver la consigna sobre la convergencia o divergencia de la sucesión $a_n = 1 + \frac{(-1)^n}{n}$, comenzando a partir del inciso $h$, vamos a analizar los pasos necesarios:

1. Identificar el comportamiento del término general: La sucesión dada es $a_n = 1 + \frac{(-1)^n}{n}.$ Observamos que la expresión $\frac{(-1)^n}{n}$ alterna entre positivo y negativo debido a $(-1)^n$, lo que hace que el término adicional $\frac{(-1)^n}{n}$ cambie de signo en cada $n$ impar y par.

2. Analizar el término alternante $\frac{(-1)^n}{n}$: Cuando $n$ tiende a infinito:

   • La parte $(-1)^n$ alterna entre $1$ y $-1$, pero el factor $\frac{1}{n}$ tiende a cero.
   • Por lo tanto, el término $\frac{(-1)^n}{n}$ se hace cada vez más pequeño en valor absoluto conforme $n$ crece, aproximándose a cero.

3. Calcular el límite de la sucesión $a_n$: $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{(-1)^n}{n}\right).$ Como $\frac{(-1)^n}{n} \to 0$ cuando $n \to \infty$, la sucesión $a_n$ se aproxima a: $\lim_{n \to \infty} a_n = 1 + 0 = 1.$

4. Conclusión sobre convergencia: La sucesión $a_n = 1 + \frac{(-1)^n}{n}$ es convergente, y el límite es $1$.

Este proceso de análisis muestra que, a pesar de la oscilación en $(-1)^n$, el factor $\frac{1}{n}$ hace que esta parte se disipe a medida que $n$ crece, permitiendo que la sucesión converja.

¿Te gustaría que te explique algún paso en más detalle o tienes alguna pregunta sobre este método?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta la alternancia de signos en la convergencia de sucesiones en general?
2. ¿Qué sucede con sucesiones donde el término alternante no tiende a cero?
3. ¿Cómo se analiza la convergencia de sucesiones que no tienen un término alternante?
4. ¿Qué otras técnicas existen para determinar la convergencia de sucesiones?
5. ¿En qué casos es necesario utilizar criterios de convergencia más avanzados?

Consejo:

Al analizar la convergencia de una sucesión, verificar si el término tiende a cero es clave cuando se trata de partes alternantes, ya que puede determinar si la sucesión converge a un límite específico.