La oss løse oppgaven steg for steg:

Oppgaven

Du har et polynom:

$P(x) = x^4 - ax^3 + bx^2 - x + 6$

og det er oppgitt at $(x - 2)$ og $(x + 3)$ er faktorer av polynomet. Du skal:

1. Bestemme $a$ og $b$.
2. Finne alle røttene til polynomet når $P(x) = 0$.

1. Bestem $a$ og $b$

Siden $(x - 2)$ og $(x + 3)$ er faktorer, betyr det at når $x = 2$ og $x = -3$, er $P(x) = 0$.

For $x = 2$:

$P(2) = 2^4 - a(2^3) + b(2^2) - 2 + 6 = 0$ $16 - 8a + 4b - 2 + 6 = 0$ $20 - 8a + 4b = 0 \quad \Rightarrow \quad 4b - 8a = -20 \quad \Rightarrow \quad 2b - 4a = -10 \quad \text{(1)}$

For $x = -3$:

$P(-3) = (-3)^4 - a(-3)^3 + b(-3)^2 - (-3) + 6 = 0$ $81 - a(-27) + b(9) + 3 + 6 = 0$ $81 + 27a + 9b + 9 = 0$ $90 + 27a + 9b = 0 \quad \Rightarrow \quad 9b + 27a = -90 \quad \Rightarrow \quad b + 3a = -10 \quad \text{(2)}$

Løsning av likningssystemet

Vi løser de to likningene:

1. $2b - 4a = -10$
2. $b + 3a = -10$

Trinn 1: Løs $b$ fra (2):

$b = -10 - 3a$

Trinn 2: Sett inn i (1):

$2(-10 - 3a) - 4a = -10$ $-20 - 6a - 4a = -10$ $-20 - 10a = -10 \quad \Rightarrow \quad -10a = 10 \quad \Rightarrow \quad a = -1$

Trinn 3: Sett $a = -1$ inn i (2):

$b + 3(-1) = -10$ $b - 3 = -10 \quad \Rightarrow \quad b = -7$

2. Finn røttene

Polynomet blir:

$P(x) = x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$

Siden $(x - 2)$ og $(x + 3)$ er faktorer, kan vi faktorisere polynomet:

$P(x) = (x - 2)(x + 3)Q(x)$

Der $Q(x)$ er et andregardspolynom. For å finne $Q(x)$, dividerer vi $P(x)$ med $(x - 2)(x + 3)$:

$(x - 2)(x + 3) = x^2 + x - 6$

Bruk polynomdivisjon for å finne $Q(x)$:

$P(x) \div (x^2 + x - 6) = x^2 - 7$

Dermed er:

$P(x) = (x - 2)(x + 3)(x^2 - 7)$

Løsningene til $P(x) = 0$ er:

1. $x = 2$
2. (