평균변화율 함수로부터 도함수를 구하는 과정은 다음과 같습니다:

1. 평균변화율의 정의: 평균변화율은 두 점 $(x_1, f(x_1))$와 $(x_2, f(x_2))$를 지나는 직선의 기울기로 정의됩니다. 즉, 평균변화율은 다음과 같이 표현됩니다: $\text{평균변화율} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

2. 도함수의 정의: 도함수는 $x_1$과 $x_2$가 매우 가까워졌을 때의 평균변화율로 정의됩니다. 이때의 기울기는 접선의 기울기이며, 이는 도함수로 표현됩니다. 이를 수학적으로 표현하면: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ 여기서 $h = x_2 - x_1$입니다.

3. 도함수 구하기: 주어진 함수 $f(x)$에 대해 도함수 $f'(x)$를 구하려면, 위의 정의를 이용하여 $f(x+h)$를 구한 후, 평균변화율을 $h$에 대해 미분 한계까지 줄여서 도함수를 계산합니다.

예시:

주어진 함수가 $f(x) = x^2$일 경우:

1. 평균변화율: $\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$

2. 위의 식을 전개: $\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$

3. $h$를 0으로 보내면: $f'(x) = 2x$

이 과정에서 도함수 $f'(x) = 2x$가 도출됩니다.

궁금한 점이나 더 알고 싶은 사항이 있으면 알려주세요!

다음 질문들은 이해를 돕기 위해 추가할 수 있는 관련 내용들입니다:

1. 도함수의 기하학적 의미는 무엇인가요?
2. 평균변화율과 순간변화율의 차이는 무엇인가요?
3. 다항함수의 도함수를 구할 때 주의할 점은 무엇인가요?
4. 고차함수의 도함수는 어떻게 계산되나요?
5. 도함수를 이용하여 함수의 극값을 찾는 방법은 무엇인가요?

Tip: 도함수를 구할 때는, 함수의 형태에 따라 미분 규칙(곱셈, 나눗셈, 체인 룰 등)을 적절히 사용해야 합니다.