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Para derivar la función \( y = (x^5) \sqrt{x^2 + 1} \) usando la regla de la cadena, podemos proceder de la siguiente manera:

Primero, reescribimos la función para facilitar la diferenciación:
\[ y = x^5 (x^2 + 1)^{1/2} \]

Ahora, aplicamos la regla del producto, que dice que la derivada de un producto \( uv \) es:
\[ \frac{d}{dx} (uv) = u'v + uv' \]

Sea \( u = x^5 \) y \( v = (x^2 + 1)^{1/2} \).

Calculamos las derivadas \( u' \) y \( v' \):

1. Derivada de \( u = x^5 \):
\[ u' = \frac{d}{dx} (x^5) = 5x^4 \]

2. Derivada de \( v = (x^2 + 1)^{1/2} \):
\[ v = (x^2 + 1)^{1/2} \]
Aplicamos la regla de la cadena para derivar \( v \):
\[ v' = \frac{1}{2} (x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{(x^2 + 1)^{1/2}} \]

Ahora, aplicamos la regla del producto:
\[ y' = u'v + uv' \]
\[ y' = (5x^4)(x^2 + 1)^{1/2} + (x^5) \left( \frac{x}{(x^2 + 1)^{1/2}} \right) \]
\[ y' = 5x^4 (x^2 + 1)^{1/2} + \frac{x^6}{(x^2 + 1)^{1/2}} \]

Para simplificar, podemos poner todo en un denominador común:
\[ y' = \frac{5x^4 (x^2 + 1) + x^6}{(x^2 + 1)^{1/2}} \]

Entonces, la derivada de la función \( y = (x^5) \sqrt{x^2 + 1} \) es:
\[ y' = \frac{5x^4 (x^2 + 1) + x^6}{(x^2 + 1)^{1/2}} \]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas que podrías hacer:
1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en derivadas más complejas?
2. ¿Cuál es el procedimiento para encontrar la derivada de una función implícita?
3. ¿Cómo se derivan funciones trigonometricas compuestas?
4. ¿Cómo se usa la regla del cociente para derivar funciones?
5. ¿Qué técnicas se utilizan para derivar funciones paramétricas?

**Consejo:** Siempre verifica los pasos intermedios en cálculos complejos para asegurar la precisión en tus resultados.

Learn how to compute the derivative of y = x^5 sqrt(x^2 + 1) using the chain rule in calculus. Step-by-step solution provided with detailed calculations and explanations. Suitable for advanced high school or college-level students.

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