turunan dari akar ( 3t + (√ 2 + (√ (1- t)))

Kita akan mencari turunan dari fungsi berikut:

\[
f(t) = \sqrt{3t + \left(\sqrt{2 + \sqrt{1 - t}}\right)}
\]

Untuk menyelesaikannya, kita akan menggunakan aturan rantai (chain rule) karena ada beberapa fungsi bersarang.

### Langkah 1: Turunan dari fungsi utama
Fungsi utama kita adalah akar kuadrat, sehingga kita dapat menerapkan aturan turunan untuk akar kuadrat:

\[
\frac{d}{dt} \left( \sqrt{u} \right) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dt}
\]

Dengan \( u = 3t + \left(\sqrt{2 + \sqrt{1 - t}}\right) \), kita perlu menghitung turunan dari \( u \) terhadap \( t \).

### Langkah 2: Turunan dari \( u = 3t + \sqrt{2 + \sqrt{1 - t}} \)

Kita bagi fungsi \( u \) menjadi dua bagian: 

1. Turunan dari \( 3t \) adalah:
   \[
   \frac{d}{dt} (3t) = 3
   \]

2. Turunan dari \( \sqrt{2 + \sqrt{1 - t}} \):
   - Bagian dalam adalah \( v = 2 + \sqrt{1 - t} \)
   - Kita gunakan aturan rantai lagi:
     \[
     \frac{d}{dt} \left( \sqrt{v} \right) = \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot \frac{dv}{dt}
     \]
     Di sini, \( \frac{dv}{dt} \) adalah turunan dari \( 2 + \sqrt{1 - t} \). Sekarang kita perlu menghitung turunan dari \( \sqrt{1 - t} \).

3. Turunan dari \( \sqrt{1 - t} \) adalah:
   \[
   \frac{d}{dt} \left( \sqrt{1 - t} \right) = \frac{1}{2\sqrt{1 - t}} \cdot (-1) = \frac{-1}{2\sqrt{1 - t}}
   \]

Sekarang kita dapat menghitung \( \frac{dv}{dt} \):
\[
\frac{dv}{dt} = \frac{-1}{2\sqrt{1 - t}}
\]

Lalu substitusi ini ke dalam turunan dari \( \sqrt{2 + \sqrt{1 - t}} \):
\[
\frac{d}{dt} \left( \sqrt{2 + \sqrt{1 - t}} \right) = \frac{1}{2\sqrt{2 + \sqrt{1 - t}}} \cdot \frac{-1}{2\sqrt{1 - t}} = \frac{-1}{4\sqrt{(2 + \sqrt{1 - t})(1 - t)}}
\]

### Langkah 3: Gabungkan semua

Sekarang kita bisa gabungkan hasil turunan di atas:

\[
f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{3t + \sqrt{2 + \sqrt{1 - t}}}} \cdot \left( 3 + \frac{-1}{4\sqrt{(2 + \sqrt{1 - t})(1 - t)}} \right)
\]

### Jawaban Akhir:
Turunan dari \( f(t) = \sqrt{3t + \left(\sqrt{2 + \sqrt{1 - t}}\right)} \) adalah:

\[
f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{3t + \sqrt{2 + \sqrt{1 - t}}}} \cdot \left( 3 - \frac{1}{4\sqrt{(2 + \sqrt{1 - t})(1 - t)}} \right)
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut mengenai langkah-langkah ini?

Berikut beberapa pertanyaan terkait:
1. Apa itu aturan rantai dalam kalkulus?
2. Bagaimana cara mengambil turunan dari fungsi komposisi?
3. Mengapa turunan dari akar kuadrat melibatkan pembagian dengan akar tersebut?
4. Bagaimana cara menghitung turunan fungsi yang kompleks?
5. Apa saja aplikasi dari aturan rantai dalam dunia nyata?

**Tip**: Saat menghadapi fungsi yang kompleks, coba pecah fungsinya menjadi bagian-bagian yang lebih sederhana untuk mempermudah perhitungan.

Find the derivative of the complex function √(3t + √(2 + √(1 - t))) using the chain rule and square root derivative formulas. This step-by-step solution is perfect for students studying college-level calculus or advanced high school calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation