Math Problem Statement

Найдите степени всех вершин и число ребер в графе-сетке Gm,n

Solution

Граф Gm,nG_{m,n} — это прямоугольная сетка (или решетчатый граф), которая состоит из mm строк и nn столбцов. Его вершины представляют собой сетку с mm рядами и nn столбцами, а ребра соединяют соседние вершины.

1. Степени вершин:

Вершины в графе Gm,nG_{m,n} могут иметь разные степени в зависимости от того, где они расположены в сетке:

  • Вершины на углах: Эти вершины соединены только с двумя соседними вершинами. Угловая вершина имеет степень 2.
  • Вершины на ребрах, но не угловые: Эти вершины соединены с тремя соседями (по горизонтали и вертикали). Такие вершины имеют степень 3.
  • Вершины в середине: Все внутренние вершины имеют четыре соседа (по горизонтали и вертикали), и их степень равна 4.

2. Число рёбер:

Чтобы найти количество рёбер, рассмотрим:

  • Горизонтальные рёбра: В каждом ряду будет n1n-1 рёбер (между соседними вершинами). Так как таких рядов mm, то общее количество горизонтальных рёбер: горизонтальные рёбра=m(n1)\text{горизонтальные рёбра} = m \cdot (n-1)
  • Вертикальные рёбра: В каждом столбце будет m1m-1 рёбер (между соседними вершинами). Так как таких столбцов nn, то общее количество вертикальных рёбер: вертикальные рёбра=n(m1)\text{вертикальные рёбра} = n \cdot (m-1)

Таким образом, общее количество рёбер в графе Gm,nG_{m,n}: E=m(n1)+n(m1)E = m \cdot (n-1) + n \cdot (m-1) Преобразуем выражение: E=mnm+nmn=2mnmnE = mn - m + nm - n = 2mn - m - n Это и есть количество рёбер в графе Gm,nG_{m,n}.

Резюме:

  1. Степени вершин:
    • Угловые вершины: степень 2.
    • Вершины на ребре, не угловые: степень 3.
    • Вершины в середине: степень 4.
  2. Количество рёбер: E=2mnmnE = 2mn - m - n.

Если вам нужны дополнительные пояснения или примеры, дайте знать!

Дополнительные вопросы:

  1. Как посчитать число рёбер в графе для другого типа решетки?
  2. Как определить, является ли граф Gm,nG_{m,n} связным?
  3. Что происходит с числом рёбер, если одна из сторон графа имеет длину 1?
  4. Как вычислить степень всех вершин в графе с произвольным числом рёбер?
  5. Как вывести формулу для числа рёбер в графе Gm,nG_{m,n}, если вместо прямоугольной решетки использовать другую структуру?

Совет: Чтобы избежать ошибок при вычислении степени вершин, начните с классификации всех типов вершин (угловые, на ребре, внутренние) и определяйте их степень по каждому типу.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Graph Theory
Grid Graphs
Vertex Degree
Edge Counting

Formulas

E = 2mn - m - n

Theorems

Grid Graph Properties
Vertex Degree Formula for Grid Graphs

Suitable Grade Level

Grades 10-12