Az általad küldött képen egy integrálási feladat megoldása látható. Az alábbiakban leegyszerűsítem és lépésenként magyarázom a folyamatot.

1. Feladat megértése
   A feladat a következő integrál kiszámítása: $\int_{-2}^{1} \left[(-x^2 + 3) - (x + 1)\right] dx$

   A zárójeleket kibontva az integrálandó kifejezés így néz ki: $-x^2 + 3 - x - 1 = -x^2 - x + 2$

2. Az integrál kifejezés egyszerűsítése
   Az egyszerűsített alakot fogjuk integrálni: $\int_{-2}^{1} \left(-x^2 - x + 2\right) dx$

3. Határozott integrál kiszámítása
   Az integrálás lépésenként történik:

   • Az $-x^2$-ből a primitív függvény: $\frac{-x^3}{3}$
   • Az $-x$-ből a primitív függvény: $\frac{-x^2}{2}$
   • A $+2$-ből a primitív függvény: $2x$

   Így az integrál: $\left[ \frac{-x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1}$

4. Határértékek behelyettesítése
   Most behelyettesítjük az $x = 1$ és $x = -2$ értékeket:

   • $x = 1$: $\frac{-1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2(1) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2$ Közös nevezőre hozva: $-\frac{1}{3} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} = \frac{7}{6}$

   • $x = -2$: $\frac{-(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) = \frac{-(-8)}{3} - \frac{4}{2} - 4 = \frac{8}{3} - 2 - 4$ Közös nevezőre hozva: $\frac{8}{3} - \frac{6}{3} - \frac{12}{3} = \frac{-10}{3}$

5. A végső különbség kiszámítása
   Az integrál értéke: $\frac{7}{6} - \left(\frac{-10}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

Válasz: Az adott határozott integrál értéke: $\frac{9}{2}$

Ha van kérdésed a lépésekkel kapcsolatban, szívesen segítek!

Kérdések a mélyebb megértéshez:

1. Hogyan integráljuk az $-x^2$-t és miért $-x^3 / 3$ lesz belőle?
2. Miért kell behelyettesíteni a határértékeket az eredmény kiszámításához?
3. Hogyan működik a közös nevezőre hozás az összeadás során?
4. Miért fontos az integrálandó kifejezést egyszerűsíteni a számítás előtt?
5. Hogyan kezeljük a negatív határértékeket az integrálás során?

Tipp: Az integrálás előtti egyszerűsítés mindig csökkenti a hibalehetőségeket, ezért érdemes alaposan összevonni a kifejezéseket.