Kita akan mendefinisikan sebuah relasi pada himpunan bilangan real $X$. Untuk membuatnya lebih menarik dan relevan dengan tingkat mahasiswa, kita akan memberikan syarat-syarat khusus sehingga terbentuk hubungan yang bermakna antara dua anggota di dalam $X$.

Misalkan $X$ adalah himpunan bilangan real dengan aturan:

$X = \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 20 \}$

Aturan Relasi (R):

Definisikan relasi $R$ pada $X$ sebagai berikut:

"Untuk setiap pasangan $(a, b)$ dalam himpunan $X \times X$, pasangan tersebut berada dalam relasi $R$ jika dan hanya jika $a + b = 15$."

Dengan kata lain, kita menyatakan bahwa dua elemen $a$ dan $b$ dari $X$ berelasi (memenuhi relasi $R$) jika jumlah kedua elemen tersebut adalah 15.

Contoh Pasangan dalam Relasi $R$

Dari aturan ini, kita bisa menemukan beberapa pasangan $(a, b)$ yang memenuhi relasi $R$ di dalam $X$:

1. $(5, 10)$: karena $5 + 10 = 15$
2. $(7.5, 7.5)$: karena $7.5 + 7.5 = 15$
3. $(12, 3)$: karena $12 + 3 = 15$
4. $(9, 6)$: karena $9 + 6 = 15$

Sifat Relasi $R$

Mari kita analisis sifat dari relasi $R$ ini untuk melihat apakah ia bersifat refleksif, simetris, dan transitif.

1. Refleksif: Relasi ini tidak bersifat refleksif, karena tidak semua elemen $a$ di $X$ memenuhi $a + a = 15$. Hanya elemen tertentu seperti $7.5$ yang memenuhi.
2. Simetris: Relasi ini bersifat simetris. Jika $(a, b) \in R$, maka $a + b = 15$. Dengan demikian, $(b, a)$ juga ada dalam relasi $R$ karena $b + a = 15$ juga.
3. Transitif: Relasi ini tidak bersifat transitif. Jika $(a, b) \in R$ dan $(b, c) \in R$, tidak menjamin bahwa $(a, c) \in R$ karena $a + b = 15$ dan $b + c = 15$ tidak cukup untuk menyimpulkan $a + c = 15$.

Kesimpulan

Relasi $R$ yang didefinisikan ini adalah relasi yang simetris, tetapi bukan refleksif maupun transitif.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut tentang relasi ini atau memiliki pertanyaan lain?

---

1. Bagaimana contoh relasi yang bisa bersifat refleksif pada himpunan bilangan real?
2. Apakah relasi ini masih valid jika kita mengganti batasan jumlah dari 15 ke bilangan lain?
3. Dapatkah kita menyusun relasi yang bersifat transitif menggunakan anggota di $X$?
4. Bagaimana menentukan pasangan-pasangan lain dalam relasi ini jika himpunan $X$ diperluas?
5. Apa pengaruh nilai-nilai di luar batas $X = [0,20]$ terhadap sifat relasi ini?

Tip: Pahami sifat dasar relasi (refleksif, simetris, transitif) agar lebih mudah menganalisis relasi dalam konteks yang berbeda!