Hukum De Morgan dalam matematika adalah dua aturan yang sangat penting dalam logika dan teori himpunan. Hukum ini menggambarkan bagaimana negasi bekerja dengan operasi himpunan dan proposisi logika. Ada dua hukum De Morgan yang utama:

1. Hukum De Morgan pada Logika Proposisional: Dalam logika, hukum ini menjelaskan hubungan antara negasi (¬), konjungsi (∧), dan disjungsi (∨). Hukum tersebut adalah:

   • ¬(P ∧ Q) = (¬P) ∨ (¬Q) (Negasi dari konjungsi adalah disjungsi dari negasi masing-masing proposisi).
   • ¬(P ∨ Q) = (¬P) ∧ (¬Q) (Negasi dari disjungsi adalah konjungsi dari negasi masing-masing proposisi).

   Contoh: Jika $P$ berarti "Hari ini hujan", dan $Q$ berarti "Saya membawa payung", maka:

   • $¬(P ∧ Q)$ berarti "Tidak benar bahwa hari ini hujan dan saya membawa payung" setara dengan "Hari ini tidak hujan atau saya tidak membawa payung".
   • $¬(P ∨ Q)$ berarti "Tidak benar bahwa hari ini hujan atau saya membawa payung" setara dengan "Hari ini tidak hujan dan saya tidak membawa payung".

2. Hukum De Morgan pada Teori Himpunan: Dalam konteks himpunan, hukum De Morgan menyatakan hubungan antara komplemen, irisan (∩), dan gabungan (∪) dari dua himpunan. Aturannya adalah:

   • (A ∩ B)' = A' ∪ B' (Komplemen dari irisan adalah gabungan dari komplemen-komplemen himpunan).
   • (A ∪ B)' = A' ∩ B' (Komplemen dari gabungan adalah irisan dari komplemen-komplemen himpunan).

   Contoh: Misalkan $A$ adalah himpunan orang yang menyukai sepak bola, dan $B$ adalah himpunan orang yang menyukai basket:

   • $(A ∩ B)'$ berarti orang yang tidak menyukai sepak bola dan basket, yang sama dengan orang yang tidak menyukai sepak bola atau tidak menyukai basket.
   • $(A ∪ B)'$ berarti orang yang tidak menyukai sepak bola atau basket, yang sama dengan orang yang tidak menyukai sepak bola dan tidak menyukai basket.

Pertanyaan yang dapat memperluas pemahaman:

1. Bagaimana penerapan hukum De Morgan dalam pemrograman komputer?
2. Apa perbedaan antara hukum De Morgan di logika proposisional dan teori himpunan?
3. Bagaimana cara menggunakan hukum De Morgan untuk menyederhanakan ekspresi logika?
4. Dapatkah hukum De Morgan diterapkan pada lebih dari dua proposisi atau himpunan? Bagaimana contohnya?
5. Bagaimana cara membuktikan hukum De Morgan menggunakan tabel kebenaran?

Tip:

Selalu ingat bahwa hukum De Morgan membantu dalam membalik operasi logika dan himpunan dengan menggunakan negasi, sehingga sangat berguna dalam menyederhanakan ekspresi matematis dan logika.