Trouver le polynôme P de degré 3 tel que :

P(0) = 1, P(1) = 5, P(−1) = −9 et P(2) = 15.

Nous cherchons un polynôme \( P(x) \) de degré 3 de la forme :

\[
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
\]

Nous devons déterminer les coefficients \( a \), \( b \), \( c \) et \( d \) à partir des conditions données :

1. \( P(0) = 1 \)
2. \( P(1) = 5 \)
3. \( P(-1) = -9 \)
4. \( P(2) = 15 \)

### Étape 1 : Utilisation de \( P(0) = 1 \)

En remplaçant \( x = 0 \) dans \( P(x) \), on obtient :
\[
P(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = d
\]
Donc, \( d = 1 \).

### Étape 2 : Utilisation de \( P(1) = 5 \)

En remplaçant \( x = 1 \), on a :
\[
P(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = a + b + c + 1 = 5
\]
Ce qui donne l'équation :
\[
a + b + c + 1 = 5 \quad \text{ou} \quad a + b + c = 4 \quad (1)
\]

### Étape 3 : Utilisation de \( P(-1) = -9 \)

En remplaçant \( x = -1 \), on a :
\[
P(-1) = a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = -a + b - c + 1 = -9
\]
Ce qui donne l'équation :
\[
-a + b - c + 1 = -9 \quad \text{ou} \quad -a + b - c = -10 \quad (2)
\]

### Étape 4 : Utilisation de \( P(2) = 15 \)

En remplaçant \( x = 2 \), on a :
\[
P(2) = a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) + d = 8a + 4b + 2c + 1 = 15
\]
Ce qui donne l'équation :
\[
8a + 4b + 2c + 1 = 15 \quad \text{ou} \quad 8a + 4b + 2c = 14 \quad (3)
\]

### Étape 5 : Résolution du système

Nous avons maintenant le système suivant :
1. \( a + b + c = 4 \)
2. \( -a + b - c = -10 \)
3. \( 8a + 4b + 2c = 14 \)

Résolvons ce système pour trouver \( a \), \( b \), et \( c \).

1. De \( a + b + c = 4 \), on a :
\[
b = 4 - a - c
\]

2. Substituons \( b = 4 - a - c \) dans la deuxième équation \( -a + b - c = -10 \) :
\[
-a + (4 - a - c) - c = -10
\]
\[
-a + 4 - a - c - c = -10
\]
\[
-2a - 2c + 4 = -10
\]
\[
-2a - 2c = -14 \quad \text{ou} \quad a + c = 7 \quad (4)
\]

3. Substituons \( b = 4 - a - c \) dans la troisième équation \( 8a + 4b + 2c = 14 \) :
\[
8a + 4(4 - a - c) + 2c = 14
\]
\[
8a + 16 - 4a - 4c + 2c = 14
\]
\[
4a - 2c = -2 \quad \text{ou} \quad 2a - c = -1 \quad (5)
\]

Nous avons maintenant le système :
1. \( a + c = 7 \)
2. \( 2a - c = -1 \)

### Étape 6 : Résolution finale

Additionnons les deux équations :
\[
a + c + 2a - c = 7 - 1
\]
\[
3a = 6 \quad \text{donc} \quad a = 2
\]

Substituons \( a = 2 \) dans \( a + c = 7 \) :
\[
2 + c = 7 \quad \text{donc} \quad c = 5
\]

Substituons \( a = 2 \) et \( c = 5 \) dans \( b = 4 - a - c \) :
\[
b = 4 - 2 - 5 = -3
\]

### Étape 7 : Conclusion

Le polynôme est donc :

\[
P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x + 1
\]

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

### Questions supplémentaires :
1. Comment vérifier les solutions de ce système linéaire ?
2. Que se passe-t-il si les conditions changent pour un polynôme de degré 2 ?
3. Comment résoudre ce système à l'aide de matrices ?
4. Pourquoi choisit-on un polynôme de degré 3 ici ?
5. Quelle est la signification géométrique des conditions données sur \( P(x) \) ?

### Astuce :
Pour résoudre des systèmes linéaires plus complexes, l'algèbre matricielle (méthode de Cramer, Gauss) est souvent très utile.

Trouver le polynôme P de degré 3 tel que : P(0) = 1, P(1) = 5, P(−1) = −9 et P(2) = 15.

Learn how to find a cubic polynomial P(x) that satisfies the conditions P(0) = 1, P(1) = 5, P(-1) = -9, and P(2) = 15. This detailed solution involves using algebraic techniques to solve systems of linear equations. Suitable for students in Grades 10-12.

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