Nous cherchons un polynôme $P(x)$ de degré 3 de la forme :

$P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Nous devons déterminer les coefficients $a$, $b$, $c$ et $d$ à partir des conditions données :

1. $P(0) = 1$
2. $P(1) = 5$
3. $P(-1) = -9$
4. $P(2) = 15$

Étape 1 : Utilisation de $P(0) = 1$

En remplaçant $x = 0$ dans $P(x)$, on obtient : $P(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = d$ Donc, $d = 1$.

Étape 2 : Utilisation de $P(1) = 5$

En remplaçant $x = 1$, on a : $P(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = a + b + c + 1 = 5$ Ce qui donne l'équation : $a + b + c + 1 = 5 \quad \text{ou} \quad a + b + c = 4 \quad (1)$

Étape 3 : Utilisation de $P(-1) = -9$

En remplaçant $x = -1$, on a : $P(-1) = a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = -a + b - c + 1 = -9$ Ce qui donne l'équation : $-a + b - c + 1 = -9 \quad \text{ou} \quad -a + b - c = -10 \quad (2)$

Étape 4 : Utilisation de $P(2) = 15$

En remplaçant $x = 2$, on a : $P(2) = a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) + d = 8a + 4b + 2c + 1 = 15$ Ce qui donne l'équation : $8a + 4b + 2c + 1 = 15 \quad \text{ou} \quad 8a + 4b + 2c = 14 \quad (3)$

Étape 5 : Résolution du système

Nous avons maintenant le système suivant :

1. $a + b + c = 4$
2. $-a + b - c = -10$
3. $8a + 4b + 2c = 14$

Résolvons ce système pour trouver $a$, $b$, et $c$.

1. De $a + b + c = 4$, on a : $b = 4 - a - c$

2. Substituons $b = 4 - a - c$ dans la deuxième équation $-a + b - c = -10$ : $-a + (4 - a - c) - c = -10$ $-a + 4 - a - c - c = -10$ $-2a - 2c + 4 = -10$ $-2a - 2c = -14 \quad \text{ou} \quad a + c = 7 \quad (4)$

3. Substituons $b = 4 - a - c$ dans la troisième équation $8a + 4b + 2c = 14$ : $8a + 4(4 - a - c) + 2c = 14$ $8a + 16 - 4a - 4c + 2c = 14$ $4a - 2c = -2 \quad \text{ou} \quad 2a - c = -1 \quad (5)$

Nous avons maintenant le système :

1. $a + c = 7$
2. $2a - c = -1$

Étape 6 : Résolution finale

Additionnons les deux équations : $a + c + 2a - c = 7 - 1$ $3a = 6 \quad \text{donc} \quad a = 2$

Substituons $a = 2$ dans $a + c = 7$ : $2 + c = 7 \quad \text{donc} \quad c = 5$

Substituons $a = 2$ et $c = 5$ dans $b = 4 - a - c$ : $b = 4 - 2 - 5 = -3$

Étape 7 : Conclusion

Le polynôme est donc :

$P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x + 1$

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Questions supplémentaires :

1. Comment vérifier les solutions de ce système linéaire ?
2. Que se passe-t-il si les conditions changent pour un polynôme de degré 2 ?
3. Comment résoudre ce système à l'aide de matrices ?
4. Pourquoi choisit-on un polynôme de degré 3 ici ?
5. Quelle est la signification géométrique des conditions données sur $P(x)$ ?

Astuce :

Pour résoudre des systèmes linéaires plus complexes, l'algèbre matricielle (méthode de Cramer, Gauss) est souvent très utile.