Math Problem Statement
raiz cubica de -27/i siendo ''i'' un numero imaginario
Solution
Para resolver la raíz cúbica de , primero abordaremos el problema utilizando las propiedades de los números complejos. Recordemos que es la unidad imaginaria y satisface .
Paso 1: Representación del número
El número puede reescribirse como:
Por lo tanto, el número equivalente es .
Paso 2: Forma polar del número complejo
Para calcular la raíz cúbica, es más sencillo expresar en su forma polar. En la forma polar, un número complejo se escribe como:
Magnitud ():
La magnitud del número es:
Argumento ():
El argumento de un número complejo se calcula como:
Por lo tanto, en forma polar, el número es:
Paso 3: Fórmula de las raíces cúbicas
La raíz cúbica de un número en forma polar se encuentra usando:
donde da las tres raíces cúbicas.
Cálculo:
-
Magnitud de la raíz cúbica: [ \sqrt[3]{r} = \sqrt[3]{27} = 3 ]
-
Ángulos para cada raíz ():
- Para :
- Para :
- Para :
-
Raíces cúbicas: Usando las expresiones obtenidas, tenemos:
-
Para :
-
Para :
-
Para :
-
Respuesta Final:
Las raíces cúbicas de son:
¿Deseas más detalles o ejemplos relacionados con este cálculo?
Preguntas Relacionadas:
- ¿Cómo se calcula la forma polar de otros números complejos?
- ¿Qué aplicaciones tienen las raíces de números complejos en física o ingeniería?
- ¿Cómo se extiende este método a raíces de grado ?
- ¿Por qué es importante encontrar todas las raíces de un número complejo?
- ¿Cómo se representa gráficamente cada raíz cúbica en el plano complejo?
Tip: La forma polar de un número complejo simplifica cálculos como potencias y raíces, especialmente para números imaginarios
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Complex Numbers
Roots of Complex Numbers
Polar Form of Complex Numbers
Formulas
z = r (cosθ + i sinθ) - Polar form of a complex number
z_k = √[n]{r} (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)) - General formula for nth roots of a complex number
r = √(a^2 + b^2) - Magnitude of a complex number
Theorems
De Moivre's Theorem
Properties of Roots of Complex Numbers
Suitable Grade Level
College-level Mathematics or Advanced High School (Grades 11-12)