Math Problem Statement

raiz cubica de -27/i siendo ''i'' un numero imaginario

Solution

Para resolver la raíz cúbica de 27/i-27/i, primero abordaremos el problema utilizando las propiedades de los números complejos. Recordemos que ii es la unidad imaginaria y satisface i2=1i^2 = -1.

Paso 1: Representación del número

El número 27/i-27/i puede reescribirse como:

27i=27ii=27i\frac{-27}{i} = -27 \cdot \frac{-i}{-i} = 27i

Por lo tanto, el número equivalente es 27i27i.


Paso 2: Forma polar del número complejo

Para calcular la raíz cúbica, es más sencillo expresar 27i27i en su forma polar. En la forma polar, un número complejo se escribe como:

z=r(cosθ+isinθ)z = r \, (\cos\theta + i\sin\theta)

Magnitud (rr):

La magnitud rr del número 27i27i es:

r=27i=02+272=27r = |27i| = \sqrt{0^2 + 27^2} = 27

Argumento (θ\theta):

El argumento de un número complejo 27i27i se calcula como:

θ=atan2(Imaginario,Real)=atan2(27,0)=π2\theta = \text{atan2}(\text{Imaginario}, \text{Real}) = \text{atan2}(27, 0) = \frac{\pi}{2}

Por lo tanto, en forma polar, el número 27i27i es:

27i=27(cosπ2+isinπ2)27i = 27 \, (\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})


Paso 3: Fórmula de las raíces cúbicas

La raíz cúbica de un número en forma polar se encuentra usando:

zk=r3(cosθ+2kπ3+isinθ+2kπ3)z_k = \sqrt[3]{r} \, \left( \cos\frac{\theta + 2k\pi}{3} + i\sin\frac{\theta + 2k\pi}{3} \right)

donde k=0,1,2k = 0, 1, 2 da las tres raíces cúbicas.

Cálculo:

  1. Magnitud de la raíz cúbica: [ \sqrt[3]{r} = \sqrt[3]{27} = 3 ]

  2. Ángulos para cada raíz (k=0,1,2k = 0, 1, 2): θk=π2+2kπ3\theta_k = \frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{3}

    • Para k=0k = 0: θ0=π6\theta_0 = \frac{\pi}{6}
    • Para k=1k = 1: θ1=π6+2π3=5π6\theta_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}
    • Para k=2k = 2: θ2=π6+4π3=3π2\theta_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}
  3. Raíces cúbicas: Usando las expresiones obtenidas, tenemos:

    • Para k=0k = 0: z0=3(cosπ6+isinπ6)=3(32+i12)=332+3i2z_0 = 3 \, (\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}) = 3 \, \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3i}{2}

    • Para k=1k = 1: z1=3(cos5π6+isin5π6)=3(32+i12)=332+3i2z_1 = 3 \, (\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}) = 3 \, \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3i}{2}

    • Para k=2k = 2: z2=3(cos3π2+isin3π2)=3(0i)=3iz_2 = 3 \, (\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}) = 3 \, (0 - i) = -3i


Respuesta Final:

Las raíces cúbicas de 27/i-27/i son:

z0=332+3i2,z1=332+3i2,z2=3iz_0 = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3i}{2}, \quad z_1 = -\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3i}{2}, \quad z_2 = -3i

¿Deseas más detalles o ejemplos relacionados con este cálculo?


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  4. ¿Por qué es importante encontrar todas las raíces de un número complejo?
  5. ¿Cómo se representa gráficamente cada raíz cúbica en el plano complejo?

Tip: La forma polar de un número complejo simplifica cálculos como potencias y raíces, especialmente para números imaginarios

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Complex Numbers
Roots of Complex Numbers
Polar Form of Complex Numbers

Formulas

z = r (cosθ + i sinθ) - Polar form of a complex number
z_k = √[n]{r} (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)) - General formula for nth roots of a complex number
r = √(a^2 + b^2) - Magnitude of a complex number

Theorems

De Moivre's Theorem
Properties of Roots of Complex Numbers

Suitable Grade Level

College-level Mathematics or Advanced High School (Grades 11-12)