Pour calculer la racine cubique de $-8i$, nous procédons comme suit :

Étape 1 : Représentation polaire de $-8i$

Un nombre complexe peut être représenté en forme polaire comme : $z = r \cdot e^{i\theta}$ où :

• $r = |z|$ est le module du nombre complexe,
• $\theta = \arg(z)$ est l'argument (angle en radians).

Pour $-8i$ :

1. Module $r$ : $r = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = 8$

2. Argument $\theta$ : L'argument est l'angle que fait le nombre complexe avec l'axe des réels. Comme $-8i$ est sur l'axe imaginaire négatif : $\theta = -\frac{\pi}{2}$

Ainsi, en forme polaire : $-8i = 8 \cdot e^{-i\pi/2}$

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Étape 2 : Racine cubique en forme polaire

La formule pour les racines $n$-ièmes d'un nombre complexe est : $z_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)} \quad \text{pour } k = 0, 1, \dots, n-1$

Pour $n = 3$ et $-8i = 8 \cdot e^{-i\pi/2}$, nous avons :

1. Module de la racine : [ \sqrt[3]{r} = \sqrt[3]{8} = 2 ]

2. Arguments des racines ($k = 0, 1, 2$) : $\theta_k = \frac{-\pi/2 + 2k\pi}{3} \quad \text{pour } k = 0, 1, 2$

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Étape 3 : Calcul des racines

Pour chaque $k$, calculons $\theta_k$ et la racine correspondante.

Racine 1 ($k = 0$) :

$\theta_0 = \frac{-\pi/2}{3} = -\pi/6$ $z_0 = 2 \cdot e^{-i\pi/6} = 2 \cdot \left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$ $z_0 = 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} - i$

Racine 2 ($k = 1$) :

$\theta_1 = \frac{-\pi/2 + 2\pi}{3} = \frac{3\pi/2}{3} = \pi/2$ $z_1 = 2 \cdot e^{i\pi/2} = 2 \cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$ $z_1 = 2 \cdot \left(0 + i\cdot 1\right) = 2i$

Racine 3 ($k = 2$) :

$\theta_2 = \frac{-\pi/2 + 4\pi}{3} = \frac{7\pi/2}{3} = \frac{7\pi}{6}$ $z_2 = 2 \cdot e^{i7\pi/6} = 2 \cdot \left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right)$ $z_2 = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = -\sqrt{3} - i$

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Résultat final

Les trois racines cubiques de $-8i$ sont : $z_0 = \sqrt{3} - i, \quad z_1 = 2i, \quad z_2 = -\sqrt{3} - i$

Souhaitez-vous une explication détaillée pour une des étapes ou des visualisations ? Voici quelques questions qui pourraient approfondir ce sujet :

1. Comment représenter un nombre complexe sur le plan d'Argand ?
2. Pourquoi les racines $n$-ièmes produisent-elles $n$ solutions distinctes ?
3. Comment vérifier que ces racines cubiques sont correctes ?
4. Pouvez-vous expliquer le lien entre la forme exponentielle et polaire des nombres complexes ?
5. Existe-t-il une méthode alternative pour calculer les racines d'un nombre complexe ?

Tip : Entraînez-vous à manipuler les formes polaires et exponentielles, elles facilitent grandement les calculs complexes !