Funktion $g(x, y) = x \sin(y)$ kriittiset pisteet voidaan löytää seuraavasti:

1. Lasketaan osittaisderivaatat:

   Ensiksi lasketaan funktion osittaisderivaatat $g_x$ ja $g_y$:

   • $g_x = \frac{\partial}{\partial x}(x \sin(y)) = \sin(y)$
   • $g_y = \frac{\partial}{\partial y}(x \sin(y)) = x \cos(y)$

2. Etsitään kriittiset pisteet:

   Kriittiset pisteet saadaan, kun molemmat osittaisderivaatat ovat nollia:

   • $g_x = \sin(y) = 0$ $\Rightarrow y = n\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.
   • $g_y = x \cos(y) = 0$ $\Rightarrow x = 0$ tai $\cos(y) = 0$. Koska $y = n\pi$, niin $\cos(y) = 1$, joten $x = 0$.

   Kriittiset pisteet ovat siis, kun $x = 0$ ja $y = n\pi$, missä $n$ on kokonaisluku. Kriittiset pisteet ovat siis muodossa $(0, n\pi)$.

3. Määritetään kriittisten pisteiden laatu:

   Laadun määrittämiseksi käytämme Hessen matriisia. Hessian on toisen kertaluvun osittaisderivaatan matriisi:

   g_{xx} & g_{xy} \\ g_{yx} & g_{yy} \end{bmatrix}$$ Lasketaan tarvittavat osittaisderivaatat: - $$g_{xx} = \frac{\partial^2}{\partial x^2} (x \sin(y)) = 0$$ - $$g_{xy} = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} (x \sin(y)) = \cos(y)$$ - $$g_{yx} = \frac{\partial^2}{\partial y \partial x} (x \sin(y)) = \cos(y)$$ - $$g_{yy} = \frac{\partial^2}{\partial y^2} (x \sin(y)) = -x \sin(y)$$ Näin ollen Hessian-matriisi on: $$H = \begin{bmatrix} 0 & \cos(y) \\ \cos(y) & -x \sin(y) \end{bmatrix}$$ Kriittisissä pisteissä $$x = 0$$ ja $$y = n\pi$$, matriisi muuttuu seuraavaksi: $$H = \begin{bmatrix} 0 & (-1)^n \\ (-1)^n & 0 \end{bmatrix}$$ Tämä on tunnettu **hessiläinen** matriisi, jonka determinantin ja jäljen avulla voimme päätellä kriittisten pisteiden laadun. - Determinantti $$\text{det}(H) = (0)(0) - (-1)^n (-1)^n = -1$$. - Jälki $$\text{tr}(H) = 0$$. Determinantti on negatiivinen, joten piste on **saddle point** (niin sanottu satulapiste).

Yhteenveto:

• Kriittiset pisteet ovat $(0, n\pi)$, missä $n$ on kokonaisluku.
• Kunkin kriittisen pisteen laatu on satulapiste.

Jos haluat tarkempia yksityiskohtia tai lisäkysymyksiä, olen valmis auttamaan!

---

Laajennuksia:

1. Miten Hessian-matriisin determinantti määrittelee satulapisteen?
2. Miten voimme laajentaa tätä käsitettä muihin monimuotoisiin funktioihin?
3. Miten voidaan laskea Hessian-matriisi yksinkertaisissa funktioissa, kuten $f(x,y) = x^2 + y^2$?
4. Mikä on kriittinen piste, jos $f(x, y) = e^x \sin(y)$?
5. Miten tulkitaan satulapisteen geometria visuaalisesti?

Vinkki: Jos Hessianin determinantti on positiivinen ja jälki on positiivinen, kyseessä on minimi. Jos determinantti on positiivinen ja jälki negatiivinen, kyseessä on maksimi.