El ejercicio plantea el modelo CIR (Cox-Ingersoll-Ross) para la tasa de interés. A continuación, te proporcionaré una versión resumida de la solución a cada apartado:

a) Solución de la EDE:

La ecuación diferencial estocástica (EDE) propuesta es:

$dr_t = \beta (\alpha - r_t) dt + \sigma \sqrt{r_t} dW_t$

Para resolverla, se usa la técnica de Itô, pero de manera simplificada, la solución formal de esta EDE es un proceso de difusión cuadrática conocido, donde la tasa de interés sigue una distribución no central Chi-cuadrado. Este modelo garantiza tasas de interés no negativas debido al término $\sqrt{r_t}$.

b) Cálculo de $E[r_t]$ y $V[r_t]$:

El valor esperado y la varianza se determinan por las siguientes expresiones:

• El valor esperado es:

$E[r_t] = r_0 e^{-\beta t} + \alpha \left( 1 - e^{-\beta t} \right)$

• La varianza es:

$V[r_t] = \frac{\sigma^2}{2\beta} r_0 \left( 1 - e^{-\beta t} \right) + \frac{\alpha \sigma^2}{4\beta} \left( 1 - e^{-2\beta t} \right)$

Cuando $t \to \infty$, el comportamiento asintótico es:

• $E[r_t] \to \alpha$
• $V[r_t] \to \frac{\alpha \sigma^2}{2\beta}$

c) Implementación de la simulación de Euler en Python:

Para simular el proceso utilizando el método de Euler, se pueden usar los siguientes parámetros:

• $T = 1$ (tiempo total)
• $N_{\text{pasos}} = 500$ (número de pasos)
• $N_{\text{sim}} = 20$ (número de simulaciones)
• $r_0 = 0.3, \alpha = 0.12, \beta = 1, \sigma = 0.4$

Código Python simplificado:

pythonCopy code
import numpy as np

# Parámetros
T = 1
N_pasos = 500
N_sim = 20
r0 = 0.3
alpha = 0.12
beta = 1
sigma = 0.4

# Inicializaciones
dt = T / N_pasos
r = np.zeros((N_sim, N_pasos+1))
r[:, 0] = r0

# Simulación de Euler
for i in range(N_pasos):
    dW = np.sqrt(dt) * np.random.normal(size=N_sim)
    r[:, i+1] = r[:, i] + beta * (alpha - r[:, i]) * dt + sigma * np.sqrt(r[:, i]) * dW

# Resultados de simulación en r

Este código ejecuta el esquema de Euler para simular el modelo CIR.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre esta solución? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta la varianza a largo plazo en el modelo CIR?
2. ¿Qué significan los parámetros $\alpha$, $\beta$ y $\sigma$ en el modelo CIR?
3. ¿Cuáles son las aplicaciones prácticas del modelo CIR en finanzas?
4. ¿Cómo podría mejorarse la precisión de la simulación de Euler?
5. ¿Qué otros modelos de tasa de interés son similares al modelo CIR?

Tip: La simulación de Euler es una de las más sencillas, pero otras más avanzadas, como el método de Milstein, pueden reducir el error en la aproximación.