Một con ếch nằm trên dỉnh A của lục giác đều ABCDEF, mỗi lần dịch chuyển
thì con ếch nhảy sang đỉnh bên cạnh.
a) Hỏi có bao nhiêu cách để con ếch nhảy từ A tới C qua n lần dịch chuyển
b) Câu hỏi như trên với điều kiện là con ếch không bao giờ được nhảy sang D.

### Phần a) Bao nhiêu cách để con ếch nhảy từ \( A \) tới \( C \) qua \( n \) lần dịch chuyển?

Như đã phân tích ở phần trước, để con ếch đi từ đỉnh \( A \) đến đỉnh \( C \) trong lục giác đều \( ABCDEF \), cần lưu ý:

1. **Số bước \( n \) phải là số chẵn**: Điều này do con ếch phải di chuyển từ vị trí \( A \) (0) đến \( C \) (2), tức là cách nhau hai đỉnh.

2. **Tính số cách**: Để đến được \( C \) từ \( A \), số bước sang phải (\(+1\)) và sang trái (\(-1\)) phải thỏa mãn:
   \[
   k_1 - k_2 = 2 \quad \text{và} \quad k_1 + k_2 = n
   \]
   Từ đó ta có:
   \[
   k_1 = \frac{n + 2}{2}, \quad k_2 = \frac{n - 2}{2}
   \]
   Do đó, số cách là:
   \[
   \binom{n}{\frac{n+2}{2}}
   \]

### Kết luận phần a):
- Nếu \( n \) là số chẵn, số cách để đi từ \( A \) đến \( C \) là \( \binom{n}{\frac{n+2}{2}} \).
- Nếu \( n \) là số lẻ, không có cách nào để đi từ \( A \) đến \( C \).

### Phần b) Bao nhiêu cách để con ếch nhảy từ \( A \) tới \( C \) qua \( n \) lần dịch chuyển nhưng không bao giờ nhảy sang \( D \)?

Trong trường hợp này, chúng ta cần loại trừ các cách mà con ếch có thể nhảy sang \( D \). Để giải quyết điều này, ta có thể áp dụng nguyên lý bao hàm - loại trừ.

1. **Số cách tổng quát (không có ràng buộc)**:
   - Số cách để con ếch nhảy từ \( A \) đến \( C \) qua \( n \) bước đã tính ở phần a).

2. **Số cách nhảy sang \( D \)**:
   - Con ếch nhảy từ \( A \) đến \( D \) rồi từ \( D \) đến \( C \). Giả sử con ếch phải tới \( D \) sau \( k \) bước (\( k \leq n \)), thì \( n - k \) bước còn lại sẽ là từ \( D \) đến \( C \).
   - Số cách đi từ \( A \) đến \( D \) sau \( k \) bước:
     \[
     \binom{k}{\frac{k+3}{2}}
     \]
   - Sau đó, từ \( D \) đến \( C \) qua \( n - k \) bước:
     \[
     \binom{n-k}{\frac{n-k-2}{2}}
     \]

   Vì vậy, số cách để nhảy từ \( A \) đến \( C \) qua \( n \) bước mà không đi qua \( D \) là tổng số cách trừ đi số cách phải ghé qua \( D \):
   \[
   \text{Số cách không qua } D = \binom{n}{\frac{n+2}{2}} - \sum_{k=1}^{n-1} \binom{k}{\frac{k+3}{2}} \cdot \binom{n-k}{\frac{n-k-2}{2}}
   \]

### Kết luận phần b):
- Công thức tính số cách này có thể phức tạp khi tính tay, nhưng đó là cách hợp lý để giải quyết bài toán khi có ràng buộc không được đi qua đỉnh \( D \).

Bạn có câu hỏi nào không? Bạn muốn giải thích kỹ hơn về phần nào không?

### 5 câu hỏi liên quan:
1. Có cách nào đơn giản hơn để giải quyết bài toán phần b) mà không cần dùng nguyên lý bao hàm - loại trừ không?
2. Làm thế nào để tính số cách đi từ \( A \) đến \( E \) qua \( n \) bước mà không đi qua \( B \)?
3. Nếu lục giác có 8 đỉnh thay vì 6, số bước cần thiết và công thức đếm có thay đổi không?
4. Nếu con ếch có thể nhảy 2 đỉnh trong một lần dịch chuyển, số cách sẽ thay đổi như thế nào?
5. Có thể giải quyết bài toán này bằng lập trình không? Ví dụ, viết một chương trình tính số cách đi từ \( A \) đến \( C \).

### Mẹo:
Khi giải quyết các bài toán liên quan đến tổ hợp và ràng buộc, nguyên lý bao hàm - loại trừ là một công cụ mạnh mẽ giúp bạn loại bỏ các trường hợp không mong muốn.

Explore the solution to counting the number of ways a frog can jump from vertex A to vertex C in a regular hexagon ABCDEF through n moves, with constraints to avoid vertex D. This problem involves combinatorial mathematics, binomial coefficients, and the inclusion-exclusion principle.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation