Math Problem Statement

Có bao nhiêu xâu gồm n ký tự (n ≥ 1) với các ký tự 0, 1, 2 sao cho không có hai ký tự 0 nào đứng cạnh nhau

Solution

Để giải bài toán này, chúng ta cần đếm số lượng xâu có độ dài nn (với n1n \geq 1) bao gồm các ký tự 0, 1, 2 sao cho không có hai ký tự 0 nào đứng cạnh nhau.

Bước 1: Xác định bài toán

  • Độ dài của xâu là nn.
  • Các ký tự trong xâu là 0, 1, 2.
  • Điều kiện ràng buộc là không có hai ký tự 0 nào đứng cạnh nhau.

Bước 2: Xây dựng công thức truy hồi

Giả sử:

  • ana_n là số lượng xâu hợp lệ có độ dài nn.
  • bnb_n là số lượng xâu hợp lệ có độ dài nn và kết thúc bằng 0.
  • cnc_n là số lượng xâu hợp lệ có độ dài nn và kết thúc bằng 1 hoặc 2.

Từ đó, ta có:

  • an=bn+cna_n = b_n + c_n (tổng số xâu hợp lệ).
  • bnb_n chỉ có thể hình thành từ các xâu độ dài n1n-1 kết thúc bằng 1 hoặc 2, tức là bn=cn1b_n = c_{n-1}.
  • cnc_n có thể hình thành từ các xâu độ dài n1n-1 bất kỳ (không kết thúc bằng 0 hoặc kết thúc bằng 0), tức là cn=2an1c_n = 2a_{n-1} (vì ký tự cuối cùng có thể là 1 hoặc 2).

Do đó, ta có hệ phương trình truy hồi: an=bn+cn=cn1+2an1a_n = b_n + c_n = c_{n-1} + 2a_{n-1} bn=cn1b_n = c_{n-1} cn=2an1c_n = 2a_{n-1}

Bước 3: Xác định điều kiện ban đầu

  • a1=3a_1 = 3 (vì n=1n = 1, ta có thể chọn 0, 1 hoặc 2).
  • b1=1b_1 = 1 (vì chỉ có một xâu duy nhất "0").
  • c1=2c_1 = 2 (vì có hai xâu "1" và "2").

Bước 4: Tính toán cho các giá trị nn cụ thể

Bắt đầu từ các điều kiện ban đầu, ta tính ana_n cho các giá trị lớn hơn của nn:

c2=2×a1=2×3=6c_2 = 2 \times a_1 = 2 \times 3 = 6 b2=c1=2b_2 = c_1 = 2 a2=b2+c2=2+6=8a_2 = b_2 + c_2 = 2 + 6 = 8

c3=2×a2=2×8=16c_3 = 2 \times a_2 = 2 \times 8 = 16 b3=c2=6b_3 = c_2 = 6 a3=b3+c3=6+16=22a_3 = b_3 + c_3 = 6 + 16 = 22

Và tiếp tục cho các giá trị lớn hơn.

Kết luận

Công thức truy hồi cuối cùng để tính số lượng xâu hợp lệ là: an=2an1+cn1a_n = 2a_{n-1} + c_{n-1} với cn=2an1c_n = 2a_{n-1} và điều kiện ban đầu a1=3a_1 = 3, b1=1b_1 = 1, c1=2c_1 = 2.

Vậy số lượng xâu có độ dài nn thỏa mãn yêu cầu là ana_n.

Bạn có muốn tính toán thêm cho giá trị nn cụ thể hay có câu hỏi nào khác không?

Dưới đây là 5 câu hỏi liên quan bạn có thể tham khảo:

  1. Làm thế nào để mở rộng bài toán này nếu ta cho phép một số lượng ký tự khác ngoài 0, 1, 2?
  2. Nếu ta yêu cầu không có hai ký tự 1 nào đứng cạnh nhau thì kết quả có thay đổi không?
  3. Làm thế nào để xác định số lượng xâu có một ký tự 0 duy nhất?
  4. Bài toán sẽ thay đổi như thế nào nếu xâu có thể kết thúc bằng ký tự 0?
  5. Làm thế nào để tính tổng số lượng xâu có độ dài từ 1 đến nn?

Mẹo: Khi gặp bài toán liên quan đến xâu ký tự, việc phân tích dựa trên vị trí của ký tự cuối cùng thường giúp đơn giản hóa việc lập công thức truy hồi.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Combinatorics
Recurrence relations

Formulas

Recurrence relation formulas

Theorems

-

Suitable Grade Level

Advanced High School