Có bao nhiêu xâu gồm n ký tự (n ≥ 1) với các ký tự 0, 1, 2 sao cho không có hai
ký tự 0 nào đứng cạnh nhau

Để giải bài toán này, chúng ta cần đếm số lượng xâu có độ dài \( n \) (với \( n \geq 1 \)) bao gồm các ký tự 0, 1, 2 sao cho không có hai ký tự 0 nào đứng cạnh nhau.

### Bước 1: Xác định bài toán
- Độ dài của xâu là \( n \).
- Các ký tự trong xâu là 0, 1, 2.
- Điều kiện ràng buộc là không có hai ký tự 0 nào đứng cạnh nhau.

### Bước 2: Xây dựng công thức truy hồi
Giả sử:
- \( a_n \) là số lượng xâu hợp lệ có độ dài \( n \).
- \( b_n \) là số lượng xâu hợp lệ có độ dài \( n \) và kết thúc bằng 0.
- \( c_n \) là số lượng xâu hợp lệ có độ dài \( n \) và kết thúc bằng 1 hoặc 2.

Từ đó, ta có:
- \( a_n = b_n + c_n \) (tổng số xâu hợp lệ).
- \( b_n \) chỉ có thể hình thành từ các xâu độ dài \( n-1 \) kết thúc bằng 1 hoặc 2, tức là \( b_n = c_{n-1} \).
- \( c_n \) có thể hình thành từ các xâu độ dài \( n-1 \) bất kỳ (không kết thúc bằng 0 hoặc kết thúc bằng 0), tức là \( c_n = 2a_{n-1} \) (vì ký tự cuối cùng có thể là 1 hoặc 2).

Do đó, ta có hệ phương trình truy hồi:
\[
a_n = b_n + c_n = c_{n-1} + 2a_{n-1}
\]
\[
b_n = c_{n-1}
\]
\[
c_n = 2a_{n-1}
\]

### Bước 3: Xác định điều kiện ban đầu
- \( a_1 = 3 \) (vì \( n = 1 \), ta có thể chọn 0, 1 hoặc 2).
- \( b_1 = 1 \) (vì chỉ có một xâu duy nhất "0").
- \( c_1 = 2 \) (vì có hai xâu "1" và "2").

### Bước 4: Tính toán cho các giá trị \( n \) cụ thể
Bắt đầu từ các điều kiện ban đầu, ta tính \( a_n \) cho các giá trị lớn hơn của \( n \):

\[
c_2 = 2 \times a_1 = 2 \times 3 = 6
\]
\[
b_2 = c_1 = 2
\]
\[
a_2 = b_2 + c_2 = 2 + 6 = 8
\]

\[
c_3 = 2 \times a_2 = 2 \times 8 = 16
\]
\[
b_3 = c_2 = 6
\]
\[
a_3 = b_3 + c_3 = 6 + 16 = 22
\]

Và tiếp tục cho các giá trị lớn hơn.

### Kết luận
Công thức truy hồi cuối cùng để tính số lượng xâu hợp lệ là:
\[
a_n = 2a_{n-1} + c_{n-1}
\]
với \( c_n = 2a_{n-1} \) và điều kiện ban đầu \( a_1 = 3 \), \( b_1 = 1 \), \( c_1 = 2 \).

Vậy số lượng xâu có độ dài \( n \) thỏa mãn yêu cầu là \( a_n \).

**Bạn có muốn tính toán thêm cho giá trị \( n \) cụ thể hay có câu hỏi nào khác không?**

Dưới đây là 5 câu hỏi liên quan bạn có thể tham khảo:
1. Làm thế nào để mở rộng bài toán này nếu ta cho phép một số lượng ký tự khác ngoài 0, 1, 2?
2. Nếu ta yêu cầu không có hai ký tự 1 nào đứng cạnh nhau thì kết quả có thay đổi không?
3. Làm thế nào để xác định số lượng xâu có một ký tự 0 duy nhất?
4. Bài toán sẽ thay đổi như thế nào nếu xâu có thể kết thúc bằng ký tự 0?
5. Làm thế nào để tính tổng số lượng xâu có độ dài từ 1 đến \( n \)?

**Mẹo:** Khi gặp bài toán liên quan đến xâu ký tự, việc phân tích dựa trên vị trí của ký tự cuối cùng thường giúp đơn giản hóa việc lập công thức truy hồi.

Learn how to solve the problem of counting strings of length n consisting of characters 0, 1, 2 without consecutive zeros. This combinatorial problem involves using recurrence relations to find the number of valid strings. Suitable for advanced high school students and beyond.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation