Math Problem Statement
Có bao nhiêu xâu gồm n ký tự (n ≥ 1) với các ký tự 0, 1, 2 sao cho không có hai ký tự 0 nào đứng cạnh nhau
Solution
Để giải bài toán này, chúng ta cần đếm số lượng xâu có độ dài (với ) bao gồm các ký tự 0, 1, 2 sao cho không có hai ký tự 0 nào đứng cạnh nhau.
Bước 1: Xác định bài toán
- Độ dài của xâu là .
- Các ký tự trong xâu là 0, 1, 2.
- Điều kiện ràng buộc là không có hai ký tự 0 nào đứng cạnh nhau.
Bước 2: Xây dựng công thức truy hồi
Giả sử:
- là số lượng xâu hợp lệ có độ dài .
- là số lượng xâu hợp lệ có độ dài và kết thúc bằng 0.
- là số lượng xâu hợp lệ có độ dài và kết thúc bằng 1 hoặc 2.
Từ đó, ta có:
- (tổng số xâu hợp lệ).
- chỉ có thể hình thành từ các xâu độ dài kết thúc bằng 1 hoặc 2, tức là .
- có thể hình thành từ các xâu độ dài bất kỳ (không kết thúc bằng 0 hoặc kết thúc bằng 0), tức là (vì ký tự cuối cùng có thể là 1 hoặc 2).
Do đó, ta có hệ phương trình truy hồi:
Bước 3: Xác định điều kiện ban đầu
- (vì , ta có thể chọn 0, 1 hoặc 2).
- (vì chỉ có một xâu duy nhất "0").
- (vì có hai xâu "1" và "2").
Bước 4: Tính toán cho các giá trị cụ thể
Bắt đầu từ các điều kiện ban đầu, ta tính cho các giá trị lớn hơn của :
Và tiếp tục cho các giá trị lớn hơn.
Kết luận
Công thức truy hồi cuối cùng để tính số lượng xâu hợp lệ là: với và điều kiện ban đầu , , .
Vậy số lượng xâu có độ dài thỏa mãn yêu cầu là .
Bạn có muốn tính toán thêm cho giá trị cụ thể hay có câu hỏi nào khác không?
Dưới đây là 5 câu hỏi liên quan bạn có thể tham khảo:
- Làm thế nào để mở rộng bài toán này nếu ta cho phép một số lượng ký tự khác ngoài 0, 1, 2?
- Nếu ta yêu cầu không có hai ký tự 1 nào đứng cạnh nhau thì kết quả có thay đổi không?
- Làm thế nào để xác định số lượng xâu có một ký tự 0 duy nhất?
- Bài toán sẽ thay đổi như thế nào nếu xâu có thể kết thúc bằng ký tự 0?
- Làm thế nào để tính tổng số lượng xâu có độ dài từ 1 đến ?
Mẹo: Khi gặp bài toán liên quan đến xâu ký tự, việc phân tích dựa trên vị trí của ký tự cuối cùng thường giúp đơn giản hóa việc lập công thức truy hồi.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Combinatorics
Recurrence relations
Formulas
Recurrence relation formulas
Theorems
-
Suitable Grade Level
Advanced High School
Related Recommendation
Counting Strings of Length n Without Adjacent '0's
Recurrence Relation for Bit Strings with Three Consecutive 0s
Recurrence Relation for Ternary Strings with Consecutive Digits
Recurrence Relation for Ternary Strings with Consecutive Digits
Recurrence Relation for Ternary Strings with Consecutive 0s or 1s