 Có bao nhiêu xâu gồm n ký tự (n ≥ 1) với các ký tự 0,1,2 sao cho không có hai
 ký tự 0 nào đứng cạnh nhau

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm số lượng xâu có độ dài \(n\) ký tự (với \(n \geq 1\)) được tạo từ ba ký tự là \(0, 1, 2\) sao cho không có hai ký tự \(0\) nào đứng cạnh nhau.

### Bước giải

1. **Đặt ký hiệu:**

   - Gọi \(a_n\) là số lượng xâu có độ dài \(n\) thỏa mãn điều kiện.
   - Gọi \(b_n\) là số lượng xâu có độ dài \(n\) kết thúc bằng \(0\) thỏa mãn điều kiện.
   - Gọi \(c_n\) là số lượng xâu có độ dài \(n\) không kết thúc bằng \(0\) thỏa mãn điều kiện.

   Rõ ràng ta có:
   \[
   a_n = b_n + c_n
   \]

2. **Xây dựng các công thức đệ quy:**

   - Để có một xâu độ dài \(n\) kết thúc bằng \(0\), xâu độ dài \(n-1\) không được kết thúc bằng \(0\). Do đó, ta có:
     \[
     b_n = c_{n-1}
     \]

   - Để có một xâu độ dài \(n\) không kết thúc bằng \(0\), ta có thể thêm ký tự \(1\) hoặc \(2\) vào bất kỳ xâu độ dài \(n-1\) thỏa mãn điều kiện, do đó:
     \[
     c_n = 2a_{n-1}
     \]

   Kết hợp hai công thức trên ta có:
   \[
   a_n = b_n + c_n = c_{n-1} + 2a_{n-1}
   \]

   Thay thế \(c_{n-1} = a_{n-1} - b_{n-1}\) ta có:
   \[
   a_n = (a_{n-1} - b_{n-1}) + 2a_{n-1} = 3a_{n-1} - b_{n-1}
   \]

3. **Khởi tạo điều kiện ban đầu:**

   - Với \(n = 1\), ta có 3 xâu: "0", "1", "2". Tất cả đều thỏa mãn điều kiện.
     \[
     a_1 = 3, \quad b_1 = 1, \quad c_1 = 2
     \]

4. **Công thức tổng quát:**

   Sử dụng các công thức đệ quy và khởi tạo điều kiện ban đầu, chúng ta có thể tính \(a_n\) cho bất kỳ \(n\) nào. Dễ thấy rằng, mỗi xâu độ dài \(n\) không có hai ký tự \(0\) nào đứng cạnh nhau được xây dựng bằng cách:
   - Thêm "0" vào bất kỳ xâu độ dài \(n-1\) không kết thúc bằng "0".
   - Thêm "1" hoặc "2" vào bất kỳ xâu độ dài \(n-1\) thỏa mãn điều kiện.

5. **Tính số lượng xâu cho một vài giá trị \(n\):**

   - Với \(n = 2\):
     \[
     b_2 = c_1 = 2, \quad c_2 = 2a_1 = 6
     \]
     \[
     a_2 = b_2 + c_2 = 2 + 6 = 8
     \]

   - Với \(n = 3\):
     \[
     b_3 = c_2 = 6, \quad c_3 = 2a_2 = 16
     \]
     \[
     a_3 = b_3 + c_3 = 6 + 16 = 22
     \]

Vậy, công thức tổng quát cho số lượng xâu độ dài \(n\) không có hai ký tự \(0\) nào đứng cạnh nhau là:

\[
a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2}
\]

với \(a_1 = 3\), \(a_2 = 8\).

Nếu bạn có câu hỏi hoặc muốn tìm hiểu thêm về các chủ đề khác, đừng ngần ngại hỏi!

### Một vài câu hỏi liên quan:
1. Làm thế nào để xây dựng xâu thỏa mãn điều kiện với \(n = 4\)?
2. Có thể áp dụng phương pháp đệ quy này cho các trường hợp khác không?
3. Công thức tổng quát cho số lượng xâu có hai ký tự 1 đứng cạnh nhau là gì?
4. Nếu sử dụng 4 ký tự (0,1,2,3) thay vì 3, công thức sẽ thay đổi như thế nào?
5. Làm thế nào để lập trình giải bài toán này bằng Python?

**Mẹo:** Để giải các bài toán đệ quy, việc xác định rõ ràng điều kiện khởi đầu và công thức đệ quy là cực kỳ quan trọng.

Explore how to count strings of length n composed of '0', '1', '2' without adjacent '0's using a recursive approach. This problem involves combinatorial principles and recurrence relations. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation