Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm số lượng xâu có độ dài $n$ ký tự (với $n \geq 1$) được tạo từ ba ký tự là $0, 1, 2$ sao cho không có hai ký tự $0$ nào đứng cạnh nhau.

Bước giải

1. Đặt ký hiệu:

   • Gọi $a_n$ là số lượng xâu có độ dài $n$ thỏa mãn điều kiện.
   • Gọi $b_n$ là số lượng xâu có độ dài $n$ kết thúc bằng $0$ thỏa mãn điều kiện.
   • Gọi $c_n$ là số lượng xâu có độ dài $n$ không kết thúc bằng $0$ thỏa mãn điều kiện.

   Rõ ràng ta có: $a_n = b_n + c_n$

2. Xây dựng các công thức đệ quy:

   • Để có một xâu độ dài $n$ kết thúc bằng $0$, xâu độ dài $n-1$ không được kết thúc bằng $0$. Do đó, ta có: $b_n = c_{n-1}$

   • Để có một xâu độ dài $n$ không kết thúc bằng $0$, ta có thể thêm ký tự $1$ hoặc $2$ vào bất kỳ xâu độ dài $n-1$ thỏa mãn điều kiện, do đó: $c_n = 2a_{n-1}$

   Kết hợp hai công thức trên ta có: $a_n = b_n + c_n = c_{n-1} + 2a_{n-1}$

   Thay thế $c_{n-1} = a_{n-1} - b_{n-1}$ ta có: $a_n = (a_{n-1} - b_{n-1}) + 2a_{n-1} = 3a_{n-1} - b_{n-1}$

3. Khởi tạo điều kiện ban đầu:

   • Với $n = 1$, ta có 3 xâu: "0", "1", "2". Tất cả đều thỏa mãn điều kiện. $a_1 = 3, \quad b_1 = 1, \quad c_1 = 2$

4. Công thức tổng quát:

   Sử dụng các công thức đệ quy và khởi tạo điều kiện ban đầu, chúng ta có thể tính $a_n$ cho bất kỳ $n$ nào. Dễ thấy rằng, mỗi xâu độ dài $n$ không có hai ký tự $0$ nào đứng cạnh nhau được xây dựng bằng cách:

   • Thêm "0" vào bất kỳ xâu độ dài $n-1$ không kết thúc bằng "0".
   • Thêm "1" hoặc "2" vào bất kỳ xâu độ dài $n-1$ thỏa mãn điều kiện.

5. Tính số lượng xâu cho một vài giá trị $n$:

   • Với $n = 2$: $b_2 = c_1 = 2, \quad c_2 = 2a_1 = 6$ $a_2 = b_2 + c_2 = 2 + 6 = 8$

   • Với $n = 3$: $b_3 = c_2 = 6, \quad c_3 = 2a_2 = 16$ $a_3 = b_3 + c_3 = 6 + 16 = 22$

Vậy, công thức tổng quát cho số lượng xâu độ dài $n$ không có hai ký tự $0$ nào đứng cạnh nhau là:

$a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2}$

với $a_1 = 3$, $a_2 = 8$.

Nếu bạn có câu hỏi hoặc muốn tìm hiểu thêm về các chủ đề khác, đừng ngần ngại hỏi!

Một vài câu hỏi liên quan:

1. Làm thế nào để xây dựng xâu thỏa mãn điều kiện với $n = 4$?
2. Có thể áp dụng phương pháp đệ quy này cho các trường hợp khác không?
3. Công thức tổng quát cho số lượng xâu có hai ký tự 1 đứng cạnh nhau là gì?
4. Nếu sử dụng 4 ký tự (0,1,2,3) thay vì 3, công thức sẽ thay đổi như thế nào?
5. Làm thế nào để lập trình giải bài toán này bằng Python?

Mẹo: Để giải các bài toán đệ quy, việc xác định rõ ràng điều kiện khởi đầu và công thức đệ quy là cực kỳ quan trọng.