Tô màu mỗi đỉnh trong đa giác đều 10 đỉnh bởi 1 trong n màu cho trước, mỗi đỉnh
được tô 1 màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô khác nhau (2 cách xếp được coi là bằng
nhau nếu có thể xoay theo chiều kim đồng hồ cách xếp này để thu được cách xếp
kia)

Đề bài yêu cầu tìm số cách tô màu khác nhau cho một đa giác đều 10 đỉnh, với mỗi đỉnh được tô bởi 1 trong \( n \) màu cho trước. Hai cách tô được coi là giống nhau nếu có thể xoay theo chiều kim đồng hồ để thu được cách tô kia. Đây là một bài toán liên quan đến lý thuyết nhóm và cụ thể là ứng dụng của định lý Burnside hoặc công thức Polya cho tổ hợp đối xứng.

### Bước giải thích:

1. **Xét không gian các phép xoay**:
   - Một đa giác đều 10 đỉnh có 10 phép xoay tương ứng với việc quay đa giác một góc là bội số của \( \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ \). Các phép xoay này là \( 0^\circ, 36^\circ, 72^\circ, ..., 324^\circ \).

2. **Ứng dụng định lý Burnside**:
   - Định lý Burnside giúp đếm số cấu hình khác nhau bằng cách tính số cấu hình bất biến dưới mỗi phép đối xứng. Theo định lý Burnside, số cấu hình khác nhau chính là trung bình số cấu hình bất biến dưới mỗi phép đối xứng.
   - Công thức của định lý Burnside: 
   \[
   \text{Số cấu hình khác nhau} = \frac{1}{|\text{Nhóm đối xứng}|} \sum_{\text{g}} \text{Số cấu hình bất biến dưới phép biến đổi } g
   \]

3. **Tính số cấu hình bất biến dưới các phép xoay**:
   - Với phép xoay \( 0^\circ \) (không xoay), tất cả các cách tô đều được giữ nguyên. Do đó, có \( n^{10} \) cách tô.
   - Với các phép xoay \( 36^\circ, 72^\circ, \dots, 324^\circ \), ta xét xem có bao nhiêu cấu hình bất biến dưới các phép xoay này. Nếu một cách tô bất biến dưới phép xoay \( 36^\circ \), thì tất cả các đỉnh cách đều nhau 1 đơn vị phải được tô cùng một màu. Tương tự cho các góc xoay khác.

4. **Tính tổng số cách tô khác nhau**:
   - Sử dụng định lý Burnside, ta có thể tính số cấu hình khác nhau bằng cách tính trung bình số cấu hình bất biến dưới mỗi phép xoay.

Bây giờ, tôi sẽ thực hiện phép tính để tìm số cách tô khác nhau.

from sympy import symbols, gcd

# Define variables
n = symbols('n')

# Number of vertices (10-gon)
k = 10

# Calculate the sum of configurations fixed by each rotation
# gcd(k, i) gives the number of groups formed when rotating by i*36 degrees
fixed_configurations = sum([n**gcd(k, i) for i in range(k)])

# Burnside's formula: divide the sum by the number of rotations (k)
distinct_colorings = fixed_configurations / k

distinct_colorings.simplify()Số cách tô màu khác nhau của đa giác đều 10 đỉnh, với mỗi đỉnh được tô bằng 1 trong \( n \) màu và hai cách tô được coi là giống nhau nếu có thể xoay để thu được cách tô kia, được cho bởi công thức:

\[
\frac{n(n^9 + n^4 + 4n + 4)}{10}
\]

Đây là số cách tô màu không bị lặp lại bởi các phép quay của đa giác.

Bạn có muốn tôi giải thích chi tiết hơn về cách tính toán này hoặc có câu hỏi nào khác không?

### Các câu hỏi mở rộng:
1. Định lý Burnside được áp dụng như thế nào trong các bài toán khác về tổ hợp đối xứng?
2. Điều gì sẽ thay đổi nếu thay đổi số đỉnh của đa giác thành một số khác?
3. Điều gì xảy ra nếu có phép phản chiếu ngoài phép xoay?
4. Nếu số màu cho trước là \( n = 3 \), số cách tô sẽ là bao nhiêu?
5. Định lý Polya có khác gì so với định lý Burnside trong bài toán này?

### Mẹo:
Luôn kiểm tra kỹ các nhóm đối xứng khi giải các bài toán tổ hợp có liên quan đến đối xứng để tránh đếm trùng lặp.

Explore how to count the distinct ways to color each vertex of a regular decagon using one of n colors, considering rotational symmetries. This problem involves applying Burnside's lemma in combinatorics and group theory. Suitable for undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation