Este es un problema de optimización que involucra la condición de Slater. Vamos a desglosar y resolver paso a paso.

El problema

Queremos minimizar la siguiente función objetivo sujeta a una restricción:

$\min_{x_1, x_2} -\log(2x_1) - \log(3x_2) + \frac{x_1}{2} + \frac{x_2}{3}$ Sujeta a la restricción:

$x_1 + x_2 \leq 5$

Condición de Slater

La condición de Slater es un criterio que se usa en problemas de optimización convexa para garantizar la viabilidad de la solución. Esta condición se refiere a la existencia de un punto interior estricto que satisface todas las restricciones. Formalmente, para un problema con restricciones de desigualdad $g(x) \leq 0$, la condición de Slater se satisface si hay un punto $x^*$ tal que $g(x^*) < 0$.

Pasos para resolver

1. Identificar las restricciones: En este caso, la restricción es $x_1 + x_2 \leq 5$. Para que se cumpla la condición de Slater, necesitamos encontrar un punto donde la restricción sea estrictamente menor, es decir, $x_1 + x_2 < 5$.

2. Evaluar los puntos propuestos:

   • $(1, 1)$: En este punto, $x_1 + x_2 = 1 + 1 = 2$, que es estrictamente menor que 5. Por lo tanto, este punto satisface la condición de Slater.
   • $(1, 0)$: En este punto, $x_1 + x_2 = 1 + 0 = 1$, que también es estrictamente menor que 5. Así que este punto también satisface la condición de Slater.
   • $(1, 2)$: En este punto, $x_1 + x_2 = 1 + 2 = 3$, que es menor que 5. Por lo tanto, este punto también satisface la condición de Slater.

Conclusión

Los puntos que satisfacen la condición de Slater son $(1, 1)$ y $(1, 2)$, que corresponden a las opciones a) y c).

Respuesta final: a) y c).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional sobre este problema?

Aquí te dejo algunas preguntas relacionadas para explorar más el tema:

1. ¿Qué diferencias existen entre los tipos de problemas de optimización convexa y no convexa?
2. ¿Cómo se puede interpretar geométricamente la condición de Slater?
3. ¿Cuáles son las condiciones de KKT (Karush-Kuhn-Tucker) en este contexto?
4. ¿Qué pasaría si la restricción fuera $x_1 + x_2 \geq 5$ en lugar de $x_1 + x_2 \leq 5$?
5. ¿Cómo afectaría la función objetivo si agregamos términos cuadráticos en $x_1$ y $x_2$?

Consejo: Asegúrate de entender bien las restricciones en los problemas de optimización, ya que las condiciones de viabilidad, como la condición de Slater, son fundamentales para resolverlos correctamente.