Ubah persamaan berikut ke dalam bentuk kartesius dan tentukan jenis bangunnya.

a. r = 3sin theta

b. r * cos(theta - pi/3) = 5

c. r ^ 2 * (9cos theta - 4sin theta) = 36

Mari kita selesaikan masing-masing persamaan ini satu per satu dan mengubahnya ke bentuk kartesius.

### Persamaan (a): \( r = 3\sin \theta \)

1. Dalam koordinat polar, \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) dan \( \sin \theta = \frac{y}{r} \).
2. Substitusi \( r \) dan \( \sin \theta \) ke persamaan:
   \[
   r = 3\sin \theta
   \]
   menjadi
   \[
   r = 3 \cdot \frac{y}{r}
   \]
3. Kalikan kedua sisi dengan \( r \) untuk menghilangkan \( r \) dari penyebut:
   \[
   r^2 = 3y
   \]
4. Gantikan \( r^2 \) dengan \( x^2 + y^2 \):
   \[
   x^2 + y^2 = 3y
   \]
5. Sederhanakan menjadi bentuk standar lingkaran:
   \[
   x^2 + y^2 - 3y = 0
   \]
6. Lengkapi kuadrat untuk \( y \):
   \[
   x^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2
   \]
   sehingga:
   \[
   x^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}
   \]

Jadi, bentuk kartesius dari persamaan ini adalah:
\[
x^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}
\]
Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat di \( \left(0, \frac{3}{2}\right) \) dan jari-jari \( \frac{3}{2} \).

---

### Persamaan (b): \( r \cos \left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = 5 \)

1. Ingat bahwa \( r \cos(\theta - \alpha) = x \cos \alpha + y \sin \alpha \).
2. Dengan \( \alpha = \frac{\pi}{3} \), kita dapat menulis:
   \[
   r \cos \left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = x \cos \frac{\pi}{3} + y \sin \frac{\pi}{3}
   \]
3. Nilai \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \) dan \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), sehingga persamaan menjadi:
   \[
   x \cdot \frac{1}{2} + y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5
   \]
4. Kalikan kedua sisi dengan 2 untuk menyederhanakan:
   \[
   x + y \sqrt{3} = 10
   \]

Jadi, bentuk kartesius dari persamaan ini adalah:
\[
x + y \sqrt{3} = 10
\]
Ini adalah persamaan garis lurus.

---

### Persamaan (c): \( r^2 \cdot (9\cos \theta - 4\sin \theta) = 36 \)

1. Kita tahu bahwa \( r^2 = x^2 + y^2 \), \( \cos \theta = \frac{x}{r} \), dan \( \sin \theta = \frac{y}{r} \).
2. Substitusi ke dalam persamaan:
   \[
   r^2 \cdot \left(9 \frac{x}{r} - 4 \frac{y}{r}\right) = 36
   \]
3. Sederhanakan menjadi:
   \[
   r (9x - 4y) = 36
   \]
4. Karena \( r^2 = x^2 + y^2 \), kita mendapatkan:
   \[
   (x^2 + y^2)(9x - 4y) = 36
   \]

Bentuk kartesius ini sulit untuk disederhanakan lebih lanjut, tetapi secara umum ini menunjukkan persamaan dari jenis kurva kuadratik atau kuartik.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan tentang salah satu langkah di atas?

---

**Soal Latihan Tambahan:**
1. Bagaimana cara mengidentifikasi pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan kartesius?
2. Bagaimana kita dapat menentukan jenis kurva dari persamaan polar tanpa mengubah ke bentuk kartesius?
3. Apa perbedaan antara persamaan lingkaran dan persamaan elips dalam koordinat kartesius?
4. Bagaimana cara menyederhanakan persamaan kuadrat dalam bentuk kartesius?
5. Mengapa kita perlu melengkapi kuadrat saat mencari bentuk lingkaran?

**Tip:** Mengubah persamaan dari bentuk polar ke kartesius sering kali melibatkan identitas dasar, seperti \( r^2 = x^2 + y^2 \) dan \( r \cos \theta = x \), yang mempermudah transformasi persamaan.

Ubah persamaan berikut ke dalam bentuk kartesius dan tentukan jenis bangunnya.

a. r = 3sin θ

b. r * cos(θ - π/3) = 5

c. r² * (9cos θ - 4sin θ) = 36

Learn how to convert polar equations to Cartesian form with step-by-step examples. This guide covers key geometry concepts such as the transformation of polar coordinates to Cartesian coordinates, identifying types of shapes like circles, lines, and quadratic curves. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation