Om het punt $(1,1)$ in de nieuwe basis $B' = \{ \mathbf{v}_1 = (1,3), \mathbf{v}_2 = (-2,1) \}$ om te zetten naar de standaardbasis $B$, moeten we het punt $(1,1)$ eerst uitdrukken in termen van de basis $B'$, en vervolgens deze coördinaten transformeren naar de standaardbasis.

1. Punt $(1,1)$ in de Nieuwe Basis $B'$

We weten dat het punt $(1,1)$ in de nieuwe basis $B'$ gegeven is als: $(1,1)_{B'} = a \mathbf{v}_1 + b \mathbf{v}_2$ waarbij $\mathbf{v}_1 = (1,3)$ en $\mathbf{v}_2 = (-2,1)$.

We hebben eerder de coördinaten $a$ en $b$ berekend: $(1,1)_{B'} = \left(\frac{3}{7}, -\frac{2}{7}\right)$

2. Terugrekenen naar de Standaardbasis $B$

Om deze coördinaten in de standaardbasis te krijgen, moeten we de lineaire combinatie van $\mathbf{v}_1$ en $\mathbf{v}_2$ berekenen met de gevonden coëfficiënten: $\mathbf{v}_B = a \mathbf{v}_1 + b \mathbf{v}_2 = \frac{3}{7} \cdot (1,3) + \left(-\frac{2}{7}\right) \cdot (-2,1)$

Dit geeft: $\mathbf{v}_B = \frac{3}{7} \cdot (1,3) + \frac{2}{7} \cdot (2,1)$ Reken dit uit: $\mathbf{v}_B = \left(\frac{3}{7}, \frac{9}{7}\right) + \left(\frac{4}{7}, \frac{2}{7}\right) = \left(\frac{7}{7}, \frac{11}{7}\right)$ Dus het punt $(1,1)$ in de standaardbasis $B$ is: $\mathbf{v}_B = (1,1)$

Conclusie

Het punt $(1,1)$ in de nieuwe basis $B' = \left(\frac{3}{7}, -\frac{2}{7}\right)$ komt overeen met hetzelfde punt $(1,1)$ in de standaardbasis $B$.

Als je verder nog vragen hebt of details wilt, laat het me weten!

Gerelateerde vragen:

1. Hoe bereken je coördinaten van een vector in een andere basis?
2. Wat zijn de stappen voor het omrekenen van coördinaten tussen basissen?
3. Wat betekent het als een vector dezelfde coördinaten heeft in verschillende basissen?
4. Hoe kun je de verandering van basismatrix gebruiken in praktijk?
5. Wat zijn de toepassingen van lineaire transformaties in de natuurkunde?
6. Hoe wordt de determinant van de matrix beïnvloed door basisverandering?
7. Wat is het nut van diagonalisatie in lineaire algebra?
8. Hoe werken basistransformaties in hogere dimensies?

Tip:

Bij het veranderen van basis is het belangrijk om goed te begrijpen hoe de coördinaten van een punt veranderen en waarom dat het geval is. Het maakt