Формулы преобразования базисов и преобразования координат при переходе от одного базиса к другому можно выразить следующим образом.

1. Преобразование базисов

Пусть $e_1, e_2, \dots, e_n$ — старый базис, а $e_1', e_2', \dots, e_n'$ — новый базис в пространстве $\mathbb{R}^n$.

Пусть $P$ — матрица перехода от старого базиса к новому базису, составленная из координат векторов нового базиса $e_1', e_2', \dots, e_n'$ в старом базисе $e_1, e_2, \dots, e_n$. Тогда любой вектор $v$ может быть выражен через новый базис:

$v = x_1 e_1 + x_2 e_2 + \dots + x_n e_n$ и через новый базис:

$v = x_1' e_1' + x_2' e_2' + \dots + x_n' e_n'.$

Матрица перехода $P$ определяет, как связаны векторы старого и нового базисов:

$\begin{pmatrix} e_1' \\ e_2' \\ \vdots \\ e_n' \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \\ \vdots \\ e_n \end{pmatrix}.$

2. Преобразование координат

Если $v$ — вектор, то его координаты в старом базисе $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ и в новом базисе $(x_1', x_2', \dots, x_n')$ связаны через матрицу перехода $P$.

Пусть вектор $v$ в старом базисе имеет координаты $X$:

$X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix},$ а в новом базисе координаты $X'$:

$X' = \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ \vdots \\ x_n' \end{pmatrix}.$

Тогда между старыми и новыми координатами существует связь:

$X' = P^{-1} X,$

где $P^{-1}$ — обратная матрица к матрице перехода $P$. Таким образом, чтобы получить координаты в новом базисе, нужно умножить вектор старых координат на обратную матрицу перехода.

Формулы:

1. Преобразование базисов:
   $\begin{pmatrix} e_1' \\ e_2' \\ \vdots \\ e_n' \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \\ \vdots \\ e_n \end{pmatrix}.$

2. Преобразование координат:
   $X' = P^{-1} X.$

---

Хочешь ли ты получить подробности или примеры для лучшего понимания?

5 Вопросов:

1. Как найти матрицу перехода для конкретного набора базисов?
2. Как определить, когда матрица перехода существует?
3. Как изменятся координаты при переходе в более высокое измерение?
4. Как работают эти формулы для ортонормированных базисов?
5. Как находить обратную матрицу для преобразования координат?

Совет:

Всегда проверяйте, что матрица перехода невырожденная (определитель не равен нулю), чтобы гарантировать существование обратной матрицы.