Щоб представити раціональний дріб $\frac{13}{31}$ у вигляді періодичного десяткового дробу, потрібно виконати довгий поділ. Ми знайдемо точне значення десяткового дробу, а потім визначимо його період.

Виконаємо поділ $13 \div 31$:

1. $13$ менше за $31$, тому додаємо нуль і подаємо як $130$.
2. $130 \div 31 = 4$, отже, перша цифра дробу — $0.4$.
   • Залишок: $130 - 4 \times 31 = 130 - 124 = 6$.
3. Додаємо нуль до залишку, тепер маємо $60$.
4. $60 \div 31 = 1$, тому наступна цифра — $1$.
   • Залишок: $60 - 1 \times 31 = 60 - 31 = 29$.
5. Додаємо нуль до залишку, тепер маємо $290$.
6. $290 \div 31 = 9$, наступна цифра — $9$.
   • Залишок: $290 - 9 \times 31 = 290 - 279 = 11$.
7. Додаємо нуль до залишку, тепер маємо $110$.
8. $110 \div 31 = 3$, наступна цифра — $3$.
   • Залишок: $110 - 3 \times 31 = 110 - 93 = 17$.
9. Додаємо нуль до залишку, тепер маємо $170$.
10. $170 \div 31 = 5$, наступна цифра — $5$.
    • Залишок: $170 - 5 \times 31 = 170 - 155 = 15$.
11. Додаємо нуль до залишку, тепер маємо $150$.
12. $150 \div 31 = 4$, наступна цифра — $4$.
    • Залишок: $150 - 4 \times 31 = 150 - 124 = 26$.
13. Додаємо нуль до залишку, тепер маємо $260$.
14. $260 \div 31 = 8$, наступна цифра — $8$.
    • Залишок: $260 - 8 \times 31 = 260 - 248 = 12$.
15. Додаємо нуль до залишку, тепер маємо $120$.
16. $120 \div 31 = 3$, наступна цифра — $3$.
    • Залишок: $120 - 3 \times 31 = 120 - 93 = 27$.
17. Додаємо нуль до залишку, тепер маємо $270$.
18. $270 \div 31 = 8$, наступна цифра — $8$.
    • Залишок: $270 - 8 \times 31 = 270 - 248 = 22$.
19. Додаємо нуль до залишку, тепер маємо $220$.
20. $220 \div 31 = 7$, наступна цифра — $7$.
    • Залишок: $220 - 7 \times 31 = 220 - 217 = 3$.
21. Додаємо нуль до залишку, тепер маємо $30$.
22. $30 \div 31 = 0$, наступна цифра — $0$.
    • Залишок: $30 - 0 \times 31 = 30$.
23. Додаємо нуль до залишку, тепер маємо $300$.
24. $300 \div 31 = 9$, наступна цифра — $9$.
    • Залишок: $300 - 9 \times 31 = 300 - 279 = 21$.
25. Додаємо нуль до залишку, тепер маємо $210$.
26. $210 \div 31 = 6$, наступна цифра — $6$.
    • Залишок: $210 - 6 \times 31 = 210 - 186 = 24$.
27. Додаємо нуль до залишку, тепер маємо $240$.
28. $240 \div 31 = 7$, наступна цифра — $7$.
    • Залишок: $240 - 7 \times 31 = 240 - 217 = 23$.
29. Додаємо нуль до залишку, тепер маємо $230$.
30. $230 \div 31 = 7$, наступна цифра — $7$.
    • Залишок: $230 - 7 \times 31 = 230 - 217 = 13$.

Цей залишок $13$ повторюється, тому ми повертаємося до початку циклу.

Отже, десятковий дріб для $\frac{13}{31}$ виглядає так:

$\frac{13}{31} = 0.(419354838709677)$

Період цього дробу дорівнює 15 цифрам: $419354838709677$.

Хочете отримати більше деталей або у вас є питання?

Відносні питання

1. Як знайти період для будь-якого раціонального дробу?
2. Чому деякі раціональні дроби мають кінцеві десяткові розклади, а інші періодичні?
3. Як використовувати довгий поділ для перетворення раціональних дробів у десяткові дроби?
4. Які властивості мають періодичні дроби?
5. Як перевірити правильність розрахунків періодичних дробів?

Порада

Для перевірки правильності розрахунків періодичних дробів спробуйте помножити періодичний дріб на знаменник, щоб отримати початковий чисельник.