Untuk menentukan apakah deret $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^2}$ konvergen atau divergen, kita bisa menggunakan Ratio Test (Uji Perbandingan). Berikut langkah-langkah penyelesaiannya:

Langkah-langkah Ratio Test

1. Misalkan $a_n = \frac{2^n}{n^2}$.
2. Tentukan $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$.

Jika limit ini lebih kecil dari 1, maka deret konvergen. Jika lebih besar dari 1 atau tak hingga, deret divergen.

Langkah Penyelesaian

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)^2}}{\frac{2^n}{n^2}} = \frac{2^{n+1} \cdot n^2}{2^n \cdot (n+1)^2} = 2 \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2}$

Selanjutnya, kita hitung limitnya: $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left( 2 \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2} \right)$

$= \lim_{n \to \infty} 2 \cdot \frac{n^2}{n^2 + 2n + 1} = 2 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}} = 2$

Karena hasil limit ini $= 2 > 1$, maka menurut Ratio Test, deret ini divergen.

Kesimpulan

Deret $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^2}$ divergen.

Ingin penjelasan lebih detail atau ada pertanyaan?

1. Bagaimana cara menggunakan Root Test untuk mengevaluasi konvergensi deret ini?
2. Apa perbedaan Ratio Test dan Root Test dalam menentukan konvergensi deret?
3. Mengapa perbandingan konvergensi tidak selalu bergantung pada deret dasar seperti $p$-series?
4. Apa peran eksponensial dalam mempengaruhi konvergensi deret?
5. Bagaimana cara menerapkan Ratio Test pada deret yang lebih umum, seperti $\sum \frac{a^n}{n^p}$?

Tip: Ratio Test sangat berguna untuk deret yang mengandung suku eksponensial, karena hasilnya cepat menunjukkan apakah deret itu divergen atau konvergen.