Para determinar la convergencia o divergencia de la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$ usando el criterio de comparación directa, buscamos una serie de referencia que sea más fácil de analizar y que tenga un comportamiento similar al de la serie dada.

Observamos que: $n^2 + 1 > n^2 \quad \text{para } n \geq 1.$ Esto implica que: $\frac{1}{n^2 + 1} < \frac{1}{n^2}.$ Entonces, podemos comparar la serie dada con la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$.

Sabemos que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ es una serie p con $p = 2 > 1$, lo cual significa que esta serie converge.

Como $\frac{1}{n^2 + 1} < \frac{1}{n^2}$ para $n \geq 1$ y la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ converge, por el criterio de comparación directa, concluimos que la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$ también converge.

¿Te gustaría que explique algún paso en más detalle o tienes alguna otra pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica el criterio de comparación para una serie divergente?
2. ¿Qué otros métodos existen para determinar la convergencia de series?
3. ¿Cómo afecta el valor de $p$ en una serie p a la convergencia?
4. ¿Se puede aplicar el criterio de comparación en series de funciones?
5. ¿Cómo usar el criterio de comparación límite para series de forma alternativa?

Tip: El criterio de comparación directa es útil cuando puedes encontrar una serie conocida que es claramente mayor o menor que la serie que analizas.